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exercice 1 facile

➡ Pour A : trouver un équivalent en 0 et calculer la limite en 1.

➡ Pour B : montrer la convergence absolue.

➡ Pour C : trouver des équivalents en 0 et en 1.

➡ Pour D : réviser la nature de l’intégrale (dite de Dirichlet) \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt puis linéariser \sin^{3}\left(t\right).

➡ Pour E : la fonction est prolongeable par continuité en 0. En +\infty, la règle des équivalents n’est pas applicable, mais on peut effectuer un développement asymptotique.

➡ Pour F : trouver un équivalent en -2, après avoir factorisé le polynôme t^{3}+8.

exercice 2 facile

Raisonner par l’absurde.

Si par exemple f admettait en +\infty une limite L>0, quelle serait alors la limite de l’intégrale partielle \int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt lorsque x\rightarrow+\infty ?

exercice 3 facile

Intégrer par parties et raisonner par récurrence.

Comme a>1, l’application {\displaystyle \left[a,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\frac{1}{t^{\alpha}\ln^{\beta}\left(t\right)}} est continue. Dans les cas où \alpha\neq1, la comparer à une fonction du type {\displaystyle t\mapsto\frac{1}{t^{\gamma}}} au voisinage de +\infty. Dans le cas \alpha=1, effectuer une comparaison avec l’intégrale de {\displaystyle t\mapsto\frac{1}{t\ln^{\beta}\left(t\right)}.}

On peut deviner la limite de la suite \left(I_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} en dessinant la forme de la courbe de la fonction \left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{n} pour n grand.

Pour montrer que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}J_{n}=0,} un simple encadrement de J_{n} devrait faire l’affaire.

Enfin, pour déterminer la nature de la série de terme général J_n, je vous suggère d’établir une inégalité et d’appliquer le principe de comparaison … mais c’est à vous de décider s’il faut chercher à majorer ou bien à minorer J_n 😉

La majoration classique 1+t\leqslant e^{t}, est la clef pour établir l’encadrement demandé.

Ensuite, le changement de variable t=\sqrt{n}\sin\left(\theta\right) dans l’intégrale {\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{t^{2}}{n}\right)^{n}\thinspace dt} fait apparaître une intégrale de Wallis.

Il reste à trouver un “bon” changement de variable pour l’autre intégrale.

L’idée sous-jacente est très géométrique !

Observer que l’intégrale partielle \int_{0}^{n}f\left(t\right)\thinspace dt est égale à la somme partielle {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}.}

Ceci montre l’existence d’une limite finie pour \int_{0}^{n}f\left(t\right)\thinspace dt lorsque l’entier n tend vers +\infty.

Il restera à trouver comment faire pour en dire autant de \int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt lorsque le réel x tend vers +\infty.

Enfin, pour montrer que f n’admet pas de limite en +\infty, penser à la caractérisation séquentielle de la limite …

Le théorème de dérivation sous le signe \int donne immédiatement la positivité de \Gamma''. On peut aussi (plus élémentaire) revenir à la définition de la convexité et montrer que :

    \[\Gamma\left(\left(1-\alpha\right)x+\alpha y\right)\leqslant\left(1-\alpha\right)\Gamma\left(x\right)+\alpha\Gamma\left(y\right)\]

pour tout \alpha\in\left]0,1\right[ et pour tout \left(x,y\right)\in\left]0,+\infty\right[^{2}.

Observer que l’on peut écrire :

    \[t^{\left(1-\alpha\right)x+\alpha y-1}e^{-t}=\left(t^{x-1}e^{-t}\right)^{1-\alpha}\left(t^{y-1}e^{-t}\right)^{\alpha}\]

et penser à la concavité du logarithme.

Ensuite, il s’agit de montrer que \left(\ln\circ\Gamma\right)''\geqslant0. Dériver sous le signe \int et penser à l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

exercice 9 difficile

Notons \mathcal{C} le graphe de f. Pour tout n\geqslant1 et pour tout x\in\left]0,1\right], comparer les pentes des trois cordes dont les extrémités sont :

  • les points d’abscisses n et n+1
  • les points d’abscisses n+1 et n+x+1
  • les points d’abscisses n+1 et n+2

Utiliser l’encadrement obtenu pour montrer que :

    \[0\leqslant\ln\left(f\left(x\right)\right)-\ln\left[\frac{n!\,n^{x}}{x\left(x+1\right)\cdots\left(x+n\right)}\right]\leqslant x\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\]

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