![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Nature de six intégrales impropres
Pour
➢ En 0 :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{0}^{1/2}\ln\left(t\right)\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7450d0caaedd54bcd30a0856c3c773fe_l3.png)
➢ En 1 :
Ainsi, l’intégrale converge.
Pour
Pour tout :
Pour
Inutile d’examiner ce qui se passe en la borne 0, vu ce qui suit …
➢ En 1 :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{1/2}^{1}\frac{dt}{t-1}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f362d8bf37cb34881c47d332b0a1c3d3_l3.png)
Pour
➢ En 0, on prolonge par continuité, vu que :
➢ Ensuite, on linéarise :
![Rendered by QuickLaTeX.com a>0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a40703e66abec36d468039e865a69f09_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x>a](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fee4e5d1272210f14d5e66ca64599ee5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\frac{\cos\left(t\right)}{t^{2}}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-448f9dd8d14eb657f18a1895e3286c87_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{a}^{x}\frac{\cos\left(t\right)}{t^{2}}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51acd2436bcb09e93e0bdfb3adfc65df_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{a}^{x}\frac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2fc5fb85f217791e8c8bed4f1800d747_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\rightarrow+\infty.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bd2cfebf60ee73ad1288510e6ca992b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{a}^{x}\frac{\sin\left(3t\right)}{t}\thinspace dt},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb396bc2060555fee15b32968420fe23_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com s=3t)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24e6c3ab3d456ee33074770d858343e6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{a}^{x}\frac{\sin^{3}\left(t\right)}{t}\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea87120c16c1d5280fd5899f1dfe3afd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\rightarrow+\infty](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea584f94652b7add7e421c29c2e7d7b0_l3.png)
Pour
➢ En 0 :
➢ En pas question d’utiliser la règle des équivalents car l’intégrande n’est pas de signe localement constant. En revanche :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left|\cos\left(t\right)\right|\leqslant1)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-109d1adf5eb37203de8cbff50fa3797c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle t\mapsto\frac{\cos\left(t\right)}{t}},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6be00f876ea557dd0f05f71ef2767cb5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com D,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eba26c6b8e566639c5edbc52a18ffe76_l3.png)
Finalement, l’intégrale converge.
Pour
Si l’on pose alors :
![Rendered by QuickLaTeX.com -2.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af8b62fd105b8665bbae3a2f5f22c9b4_l3.png)
Ainsi, l’intégrale converge.
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Supposons Il existe alors
tel que
et donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt=+\infty,}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3f3fc2ef5e11fe1833438c444165c3d_l3.png)
De même, en supposant que admet en
une limite finie
il existera
tel que
d’où :
On voit de la même façon (ou bien en appliquant ce qui précède à que
ne peut pas admettre pour limite
en
ni une limite finie strictement négative.
Il s’ensuit que, SI admet en
une limite finie, celle-ci est nécessairement nulle.
Remarque – Comme cela a été indiqué dans l’énoncé, la convergence d’une telle intégrale impropre n’impose pas l’existence d’une limite pour en
, voir l’exercice 7 de cette même fiche.
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Etant donné la propriété des croissances comparées donne :
![Rendered by QuickLaTeX.com A>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48f5d28bf792bb5b087e404bb0f1f636_l3.png)
L’intégrale impropre :
Fixons temporairement un réel notons pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfaafc9311e0a4d6e6df83b2f3d285ea_l3.png)
On obtient :
En passant à la limite dans cette égalité lorsque on obtient
Et vu que :
Remarque
est la valeur en
de la célèbre fonction Gamma d’Euler, définie sur
par la formule :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Soient et
On étudie la nature de l’intégrale impropre
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0169d1eacaa89d84e1abe3b20a217e8_l3.png)
➤ 1er cas :
Choisissons et observons que, pour tout
:
()
![Rendered by QuickLaTeX.com T>a](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-098a739da018a0a9dce9144ef77248e8_l3.png)
➤ 2ème cas :
On choisit cette fois et vu que :
![Rendered by QuickLaTeX.com T>a](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-098a739da018a0a9dce9144ef77248e8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\heartsuit\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1a5aac95527f0e9019f2f1cf1bdb394_l3.png)
➤ 3ème cas :
On introduit, pour tout l’intégrale partielle :
![Rendered by QuickLaTeX.com u=\ln\left(t\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ef318d7eafce642d831a29a8e142986_l3.png)
Supposons dans un premier temps que Alors :
➣ Si alors :
➣ Si alors :
➣ Enfin si alors :
En conclusion
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Commençons par le calcul de :
![Rendered by QuickLaTeX.com x\mapsto e^{-x}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af20518e45ef438db94a60c9894ab90c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(n,x\right)\in\mathbb{N}\times\left[0,1\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c163deac13a6ea3230a5e9332f152739_l3.png)
Le théorème de convergence dominée s’applique donc. On obtient :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(n,x\right)\in\mathbb{N}\times\left[1,+\infty\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-498155c42cd4df2f12330b55a1b33ef1_l3.png)
Il reste à préciser la nature de la série de terme général Bien entendu, le fait que la suite
converge vers 0 ne nous apprend rien à ce sujet … pas plus que la majoration obtenue plus haut (puisque la série harmonique est divergente).
En revanche, étant donné on observe que pour tout
:
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
On sait que, pour tout :
Ceci se prouve directement en étudiant les variations de
On peut aussi remarquer que est la fonction affine tangente à l’exponentielle en 0; or l’exponentielle est convexe, donc minorée par chacune de ses fonctions affines tangentes.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/Fiche-integrales-04-exo-6a.png)
Il s’ensuit que, pour tout et pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\left[0,\sqrt{n}\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43dc08bf0cd1d35a4975270f0d712514_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\mapsto x^{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f8cff3468744721921dd2c35eeb36cd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{R}^{+}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96230ca764b8fd43a92d26bfb6740f31_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\mapsto1/x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6d9502d1778b8a3d7bd6adad321b3ae_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,+\infty\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90d2d03eec9a031b0d2601b2f615f2df_l3.png)
Illustration dynamique pour cet encadrement
On peut voir ci-dessous les graphes des trois fonctions. Les unités ne sont pas identiques sur les axes de coordonnées. Le slider permet de faire varier et d’apprécier, à l’œil nu, la qualité de l’encadrement :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/Fiche-integrales-04-ex-6b-legende-2.png)
D’après cet encadrement et par croissance de l’intégrale :
()
Si l’on prouve que les suites et
convergent vers une même limite
il en résultera, d’après l’encadrement
, que la suite de terme général :
![Rendered by QuickLaTeX.com G.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3f7d1ef553fdd070e5aef0116f3bc02_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51b2ef883129dcaa0bcffafa68c61700_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com W_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\cos\left(\theta\right)\thinspace dt](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26860c03c937c9bc8b2f7de5a3f6c084_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b759835e581b50df1eb26a0f73ca5f5a_l3.png)
On sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com B_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-705d1ad9e4d35262935146baa827bb48_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi/4](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0bc87aeb8bea8e427c65e0729051b3c_l3.png)
Il reste un mot à dire. L’intégrale impropre converge et donc, pour toute suite
à termes positifs qui diverge vers
on a :
Ceci vaut en particulier pour En conclusion :
Cette intégrale, qui joue un rôle central (jeu de mot) en probabilités, est connue sous le nom d’intégrale de Gauss.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
Voici à quoi ressemble le graphe de :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/Fiche-integrales-04-exo-7-1024x638.png)
Posons, pour tout :
Comme est positive,
est croissante.
Pour tout on constate (aire d’un triangle de base
et de hauteur 2) que :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}^{\star}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bec2a43342e25da8aef3e70f95e615da_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x>0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d94d2b5d864a32f07d17ef81b575777c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ac0241c2e7319cb42a4efe8e4bc0710_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ac0241c2e7319cb42a4efe8e4bc0710_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com +\infty](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-833d378f03dc0193e9947a40b4b2ef4d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ac0241c2e7319cb42a4efe8e4bc0710_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)\thinspace dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29a02fbdba31ba969d53f8dd595bd89c_l3.png)
Pour finir, la suite converge vers 0 et la suite
converge vers
(ces deux suites sont constantes !). Il en résulte que
ne possède pas de limite en
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Commençons par préciser que, pour tout l’intégrale :
- d’une part, au voisinage de 0 :
converge si, et seulement si,
- d’autre part, au voisinage de
:
(qui dépend de
tel que :
Cela dit, on peut envisager deux méthodes pour établir la convexité de
➤ Méthode 1 : on dérive sous le signe (justification non détaillée ici) et l’on observe que :
➤ Méthode 2 (plus élémentaire mais aussi plus technique) : on revient à la définition de la convexité.
Détaillons la méthode 2. Fixons donc tels que
ainsi que
et montrons que
![Rendered by QuickLaTeX.com a,b>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b5faa12aee6f4bf70d6424f75d25bf6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\left[0,1\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3be682b6dec802a6bc041e84b876fdf4_l3.png)
Pour la convexité de on dérive sous le signe
Il s’agit de montrer que :
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Comme est convexe, la comparaison des pentes sur les segments
et
donne pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com f\left(n+1\right)=n!](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2f08ec24b9bf90ef13b4cd05c81d9f5_l3.png)
Compte tenu de la formule d’Euler, selon laquelle :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(n\rightarrow+\infty\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-493437829431eb25d3e64af4667bff51_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \Gamma](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa0a6523569de288b3ef98d6d4792236_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,1\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f504d58286d960249cc931d4418fde3_l3.png)
Vue l’équation fonctionnelle vérifiée par et
, on conclut que
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.