

Nature de six intégrales impropres
Pour
➢ En 0 :
➢ En 1 :
Ainsi, l’intégrale converge.
Pour
Pour tout :
Pour
Inutile d’examiner ce qui se passe en la borne 0, vu ce qui suit …
➢ En 1 :
Pour
➢ En 0, on prolonge par continuité, vu que :
➢ Ensuite, on linéarise :
Pour
➢ En 0 :
➢ En pas question d’utiliser la règle des équivalents car l’intégrande n’est pas de signe localement constant. En revanche :
Finalement, l’intégrale converge.
Pour
Si l’on pose alors :
Ainsi, l’intégrale converge.

Supposons Il existe alors
tel que
et donc :
De même, en supposant que admet en
une limite finie
il existera
tel que
d’où :
On voit de la même façon (ou bien en appliquant ce qui précède à que
ne peut pas admettre pour limite
en
ni une limite finie strictement négative.
Il s’ensuit que, SI admet en
une limite finie, celle-ci est nécessairement nulle.
Remarque – Comme cela a été indiqué dans l’énoncé, la convergence d’une telle intégrale impropre n’impose pas l’existence d’une limite pour en
, voir l’exercice 7 de cette même fiche.

Etant donné la propriété des croissances comparées donne :
L’intégrale impropre :
Fixons temporairement un réel notons pour tout
:
On obtient :
En passant à la limite dans cette égalité lorsque on obtient
Et vu que :
Remarque
est la valeur en
de la célèbre fonction Gamma d’Euler, définie sur
par la formule :

Soient et
On étudie la nature de l’intégrale impropre
➤ 1er cas :
Choisissons et observons que, pour tout
:
()
➤ 2ème cas :
On choisit cette fois et vu que :
➤ 3ème cas :
On introduit, pour tout l’intégrale partielle :
Supposons dans un premier temps que Alors :
➣ Si alors :
➣ Si alors :
➣ Enfin si alors :
En conclusion

Commençons par le calcul de :
Le théorème de convergence dominée s’applique donc. On obtient :
Il reste à préciser la nature de la série de terme général Bien entendu, le fait que la suite
converge vers 0 ne nous apprend rien à ce sujet … pas plus que la majoration obtenue plus haut (puisque la série harmonique est divergente).
En revanche, étant donné on observe que pour tout
:

On sait que, pour tout :
Ceci se prouve directement en étudiant les variations de
On peut aussi remarquer que est la fonction affine tangente à l’exponentielle en 0; or l’exponentielle est convexe, donc minorée par chacune de ses fonctions affines tangentes.

Il s’ensuit que, pour tout et pour tout
:
Illustration dynamique pour cet encadrement
On peut voir ci-dessous les graphes des trois fonctions. Les unités ne sont pas identiques sur les axes de coordonnées. Le slider permet de faire varier et d’apprécier, à l’œil nu, la qualité de l’encadrement :

D’après cet encadrement et par croissance de l’intégrale :
()
Si l’on prouve que les suites et
convergent vers une même limite
il en résultera, d’après l’encadrement
, que la suite de terme général :
On sait que :
Il reste un mot à dire. L’intégrale impropre converge et donc, pour toute suite
à termes positifs qui diverge vers
on a :
Ceci vaut en particulier pour En conclusion :
Cette intégrale, qui joue un rôle central (jeu de mot) en probabilités, est connue sous le nom d’intégrale de Gauss.

Voici à quoi ressemble le graphe de :

Posons, pour tout :
Comme est positive,
est croissante.
Pour tout on constate (aire d’un triangle de base
et de hauteur 2) que :
Pour finir, la suite converge vers 0 et la suite
converge vers
(ces deux suites sont constantes !). Il en résulte que
ne possède pas de limite en

Commençons par préciser que, pour tout l’intégrale :
- d’une part, au voisinage de 0 :
converge si, et seulement si,
- d’autre part, au voisinage de
:
(qui dépend de
tel que :
Cela dit, on peut envisager deux méthodes pour établir la convexité de
➤ Méthode 1 : on dérive sous le signe (justification non détaillée ici) et l’on observe que :
➤ Méthode 2 (plus élémentaire mais aussi plus technique) : on revient à la définition de la convexité.
Détaillons la méthode 2. Fixons donc tels que
ainsi que
et montrons que
Pour la convexité de on dérive sous le signe
Il s’agit de montrer que :

Comme est convexe, la comparaison des pentes sur les segments
et
donne pour tout
:
Compte tenu de la formule d’Euler, selon laquelle :
Vue l’équation fonctionnelle vérifiée par et
, on conclut que
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