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exercice 1 facile

Les critères de divisibilité utilisés pour cet exercice sont présentés dans cet article.
On calcule successivement, avec la règle “d-2u” :

    \begin{eqnarray*}& & 864\thinspace197\thinspace523\\& & \downarrow\\& & 86\thinspace419\thinspace746\\& & \downarrow\\& & 8\thinspace641\thinspace962\\& & \downarrow\\& & 864\thinspace192\\& & \downarrow\\& & 86\thinspace415\\& & \downarrow\\& & 8\thinspace631\\& & \downarrow\\& & 861\\& & \downarrow\\& & 84\\& & \downarrow\\& & 0=7\times0\end{eqnarray*}


donc :

    \[\boxed{7\mid864\thinspace197\thinspace523}\]


puis avec la règle “d+4u

    \begin{eqnarray*}& & 12\thinspace839\thinspace506\thinspace173\\& & \downarrow\\& & 1\thinspace283\thinspace950\thinspace629\\& & \downarrow\\& & 128\thinspace395\thinspace098\\& & \downarrow\\& & 12\thinspace839\thinspace541\\& & \downarrow\\& & 1\thinspace283\thinspace958\\& & \downarrow\\& & 128\thinspace427\\& & \downarrow\\& & 12\thinspace870\\& & \downarrow\\& & 1\thinspace287\\& & \downarrow\\& & 156\\& & \downarrow\\& & 39=13\times3\end{eqnarray*}


donc :

    \[\boxed{13\mid12\thinspace839\thinspace506\thinspace173}\]


puis avec la règel “d-5u

    \begin{eqnarray*}& & 2\thinspace062\thinspace340\thinspace577\thinspace489\\& & \downarrow\\& & 206\thinspace234\thinspace057\thinspace703\\& & \downarrow\\& & 20\thinspace623\thinspace405\thinspace755\\& & \downarrow\\& & 2\thinspace062\thinspace340\thinspace550\\& & \downarrow\\& & 206\thinspace234\thinspace055\\& & \downarrow\\& & 20\thinspace623\thinspace380\\& & \downarrow\\& & 2\thinspace062\thinspace338\\& & \downarrow\\& & 206\thinspace193\\& & \downarrow\\& & 20\thinspace604\\& & \downarrow\\& & 2\thinspace040\\& & \downarrow\\& & 204\\& & \downarrow\\& & 0=17\times0\end{eqnarray*}


donc :

    \[\boxed{17\mid2\thinspace062\thinspace340\thinspace577\thinspace489}\]


et enfin, avec la règle “d+2u

    \begin{eqnarray*}& & 6\thinspace107\thinspace218\thinspace329\thinspace426\\& & \downarrow\\& & 610\thinspace721\thinspace832\thinspace954\\& & \downarrow\\& & 61\thinspace072\thinspace183\thinspace303\\& & \downarrow\\& & 6\thinspace107\thinspace218\thinspace336\\& & \downarrow\\& & 610\thinspace721\thinspace845\\& & \downarrow\\& & 61\thinspace072\thinspace194\\& & \downarrow\\& & 6\thinspace107\thinspace227\\& & \downarrow\\& & 610\thinspace736\\& & \downarrow\\& & 61\thinspace085\\& & \downarrow\\& & 6\thinspace118\\& & \downarrow\\& & 627\\& & \downarrow\\& & 76\\& & \downarrow\\& & 19=19\times1\end{eqnarray*}


donc :

    \[\boxed{19\mid6\thinspace107\thinspace218\thinspace329\thinspace426}\]

exercice 2 facile

N_{1}=444\thinspace444 est évidemment un multiple de 4 vu que 444\thinspace444=4\times111\thinspace111. C’est un multiple de 3 puisque la somme de ses chiffres l’est (cf. exercice 3 ci-dessous). C’est aussi un multiple de 11 puisque la somme alternée de ses chiffres l’est (elle vaut 0). Enfin, c’est un multiple de 7 et de 13 puisque 444-444=0 est multiple de 7 et de 13 (voir les règles \left[R_{7}\right] et \left[R_{13}\right] dans cet article).

A titre indicatif, voici la décomposition en facteurs premiers (DFP) de N_{1} :

    \[444\thinspace444=2^{2}\times3\times7\times11\times13\times37\]

N_{2}=110\thinspace077 est impair (donc certainement pas multiple de 4). La somme de ses chiffres vaut 16, qui n’est pas multiple de 3, donc N_{2} ne l’est pas non plus. Comme 110-77=33 n’est ni multiple de 7, ni de 13, il en va de même pour N_{2}. Cependant, la somme alternée des chiffres de N_{2} est nulle, donc N_{2} est multiple de 11.

Voici la DFP de N_{2} :

    \[110\thinspace077=11\times10\thinspace007\]


N_{3}=362\thinspace287 est multiple de 11, mais n’est multiple d’aucun des entiers 3,4,7,13. Sa DFP :

    \[362\thinspace287=17\times101\times211\]

Enfin, N_{4}=999\thinspace999\thinspace994 est pair, mais n’est pas multiple de 4, car 94 ne l’est pas. C’est un multiple de 7 puisque :

    \[999-999+994=994=7\times142\]


Mais ce n’est un multiple d’aucun des entier 3, 11, 13. Sa DFP :

    \[999\thinspace999\thinspace994=2\times7\times71\thinspace428\thinspace571\]

exercice 3 facile

Considérons un entier n\geqslant1 et son écriture décimale :

    \[n=\sum_{i=0}^{r}c_{i}\thinspace10^{i}\]


avec comme d’habitude :

  • r\in\mathbb{N},
  • c_{i}\in\left\{ 0,\cdots,9\right\} pour tout i
  • c_{r}\neq0

Comme 10\equiv1\pmod{3}, alors 10^{i}\equiv1\pmod{3} pour tout i et donc :

    \[n\equiv\sum_{i=0}^{r}c_{i}\]

Autrement dit :
tout entier naturel non nul est congru, modulo 3, à la somme de ses chiffres décimaux.

En particulier : n est multiple de 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l’est.

Comme 10\equiv1\pmod{9}, on peut, dans l’équivalence ci-dessus, remplacer 3 par 9.

Si A,M sont des entiers positifs, les multiples de A se situant dans l’intervalle \left[0,M\right] sont les entiers de la forme kA, avec k entier et tel que :

    \[0\leqslant k\leqslant\frac{M}{A}\]


Vu le caractère entier de k, cet encadrement équivaut à :

    \[0\leqslant k\leqslant\left\lfloor \frac{M}{A}\right\rfloor\]


Le nombre de tels entiers k est {\displaystyle \boxed{1+\left\lfloor \frac{M}{A}\right\rfloor }}

Il en résulte que si A,M,M' sont des entiers positifs tels que M<M', alors les multiples de A dans l’intervalle \left[M,M'\right] sont au nombre de :

    \[\boxed{\left\lfloor \frac{M'}{A}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{M-1}{A}\right\rfloor }\]

Il ne reste plus qu’à appliquer cette formule au cas particulier : \left(A,M,M'\right)=\left(2357,10^{5},10^{9}\right). Le nombre cherché est finalement :

    \[\left\lfloor \frac{10^{9}}{2357}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{10^{5}-1}{2357}\right\rfloor =424\thinspace268-42=\boxed{424\thinspace226}\]

Si 3^{n-1}+5^{n-1}\mid3^{n}+5^{n}, alors :

    \[3^{n-1}+5^{n-1}\mid5\left(3^{n-1}+5^{n-1}\right)-\left(3^{n}+5^{n}\right)\]


c’est-à-dire :

    \[3^{n-1}+5^{n-1}\mid2\thinspace.\thinspace3^{n-1}\qquad\left(\diamondsuit\right)\]


Mais, dès que n>1 :

    \[2\thinspace.\thinspace3^{n-1}>3^{n-1}+5^{n-1}\]


ce qui est incompatible avec \left(\diamondsuit\right). La seule possibilité est donc n=1.

Quelques calculs conduisent à conjecturer que le chiffre des unités de F_{n} est invariablement un 7, pour tout n\geqslant2. En effet :

    \begin{eqnarray*}F_{2} & = & 17\\F_{3} & = & 257\\F_{4} & = & 65\thinspace537\\F_{5} & = & 4\thinspace294\thinspace967\thinspace297\end{eqnarray*}


Montrons donc, par récurrence, que :

    \[\forall n\geqslant2,\thinspace F_{n}\equiv7\pmod{10}\]


On a déjà : F_{2}=17\equiv7\pmod{10}. Supposons que, pour un certain n\geqslant2, on ait F_{n}\equiv7\pmod{10}. Alors :

    \[F_{n+1}=\left(F_{n}-1\right)^{2}+1\equiv37\equiv7\pmod{10}\]

Dressons la table des cubes modulo 7 :

Si aucun des trois entiers a,b,c n’est multiple de 7, alors a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv-3,-1,1\textrm{ ou }3\,\left[\textrm{mod }7\right], donc a^{3}+b^{3}+c^{3}\not\equiv0\left[7\right].

Contraposée : si a^{3}+b^{3}+c^{3}\equiv0\left[7\right], alors a, b ou c est multiple de 7, et donc abc aussi.

On peut factoriser

    \[a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b^{n-k}\]


Or, pour tout k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} :

    \[a^{k-1}\equiv b^{k-1}\pmod{n}\]


d’où :

    \[a^{k-1}b^{n-k}\equiv b^{n-1}\pmod{n}\]


et donc :

    \[\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b^{n-k}\equiv nb^{n-1}\equiv0\pmod{n}\]


Il s’ensuit que :

    \[\boxed{a^{n}-b^{n}\equiv0\pmod{n^{2}}}\]

exercice 9 difficile

On cherche les entiers n\geqslant1 vérifiant :

    \[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\mid n!\]


c’est-à-dire :

    \[n+1\mid2\left(n-1\right)!\qquad\left(spadesuit\right)\]


Examinons divers cas, selon la valeur de n :

  • La condition \left(\spadesuit\right) est vérifiée lorsque n=1.
  • Supposons que n+1\in\mathbb{P}-\left\{ 2\right\} . Alors :

        \[n+1\nmid\left(n-1\right)!\]


    et

        \[n+1\nmid2\]


    donc, d’après le lemme d’Euclide, la condition \left(\spadesuit\right) n’est pas vérifiée.
  • Supposons maintenant que n+1=ab, avec 1<a<b<n+1 (ce qui impose n\geqslant5). Alors b\neq n (puisque, dans le cas contraire : ab\geqslant2n>n+1) et donc a et b sont deux entiers distincts, inférieurs ou égaux à n-1. Il en résulte que ab\mid\left(n-1\right)! et \left(\spadesuit\right) est vérifiée a fortiori.
  • Si n+1=a^{2} avec a>2, alors n=a^{2}-1>2a. Ainsi, a et 2a sont deux entiers distincts et inférieurs ou égaux à n-1 : leur produit 2\left(n+1\right) divise donc \left(n-1\right)! et donc a fortiori n vérifie \left(\spadesuit\right).
  • Enfin n=3 est solution.

En conclusion, l’ensemble \mathcal{S} des solutions est constitué de 1 et des entiers supérieurs ou égaux à 2 dont le successeur n’est pas un nombre premier. En symboles :

    \[\boxed{\mathcal{S}=\mathbb{N}^{\star}-\left\{ p-1;\thinspace p\in\mathbb{P}-\left\{ 2\right\} \right\} }\]


Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.

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