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exercice 1 facile

Examiner le signe de la dérivée.

exercice 2 facile

Par la croissance, raisonner par l’absurde. Pour l’imparité, s’intéresser à f\left(-f^{-1}\left(-x\right)\right).

exercice 3 facile

Il existe très peu d’applications non surjectives de E dans \left\{ 0,1\right\} . Voyez-vous lesquelles ?

Etudier séparément le cas où A est fini et celui où A est infini.

Pas d’indications ici … sorry.

Commencer par établir l’injectivité de \varphi. Si z,w\in\mathbb{C} vérifie \varphi\left(z\right)=\varphi\left(w\right), on peut passer aux modules dans cette égalité …

Ensuite, il faudra trouver une CNS pour qu’un nombre complexe w possède un antécédent par \varphi.

L’injectivité de f est facile à prouver. Seul -1 ne possède pas d’antécédent. Ensuite, il faut prouver que \left|z\right|<1\Rightarrow\text{Re}\left(f\left(z\right)\right)>0 et que, pour tout w vérifiant \text{Re}\left(w\right)>0, il existe z de module <1 tel que f\left(z\right)=w.

exercice 8 moyen

Avant de chercher un équivalent de W\left(x\right) en +\infty, commencer par montrer que {\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}W\left(x\right)=+\infty.} Pour cela, une simple minoration de W\left(x\right) doit faire l’affaire.

exercice 9 difficile

Construire une bijection \mathbb{N} dans \mathbb{N}^{\star} est facile : il suffit de considérer n\mapsto n+1. Etant donné un ensemble infini X et un élément a\in X, on peut s’inspirer de cette idée pour construire une bijection X\rightarrow X-\left\{ a\right\} .

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