Comment intégrer par parties ?

Avant la réforme des programmes entrée en vigueur à la rentrée 2012, la technique d’intégration par parties était enseignée en terminale scientifique et l’on pouvait tomber sur des exercices relativement intéressants, où le calcul d’une intégrale était envisageable autrement qu’en connaissant d’emblée une primitive.

Après ladite réforme, cette technique de calcul ne figurait plus au programme. Les concepteurs de sujets de bac, qui envisageaient une question de calcul intégral, n’avaient plus beaucoup de choix : privés de cet outil, ils étaient contraints de se limiter à la courte liste des fonctions pour lesquelles une primitive est censée être connue des élèves ou bien, à la rigueur, de faire « constater » aux candidats que telle fonction est une primitive de telle autre. Le sujet était devenu quasi-stérile…

Mais restons optimiste ! A la faveur des nouveaux programmes de 2019, cette technique fondamentale va probablement retrouver la place qu’elle occupait autrefois (et qui, selon moi, lui revient), tout au moins pour les élèves ayant fait le choix d’un enseignement renforcé en mathématiques.

Section 1

Le point de départ est la formule de dérivation d’un produit…

On sait que si $u,v:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sont deux fonctions dérivables, alors :

$\left(uv\right)'=u'v+uv'$

Faisons maintenant une hypothèse plus forte, à savoir que $u,v$ soient de classe $C^{1}$ (c’est-à-dire dérivables et à dérivée continue). On peut alors intégrer l’égalité ci-dessus sur $[a,b]$ pour obtenir :

$\int_{a}^{b}\left(uv\right)'\left(t\right)\thinspace dt=\int_{a}^{b}u'\left(t\right)\thinspace v\left(t\right)\thinspace dt+\int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace v'\left(t\right)\thinspace dt$

c’est-à-dire :

$\int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace v'\left(t\right)\thinspace dt=u\left(b\right)\thinspace v\left(b\right)-u\left(a\right)\thinspace v\left(a\right)-\int_{a}^{b}u'\left(t\right)\thinspace v\left(t\right)\thinspace dt$

C’est la formule d’intégration par parties (IPP).

Deux intégrales figurent dans cette formule. Donc, si l’on sait calculer l’une d’elles, alors on sait aussi calculer l’autre ! C’est aussi simple que ça.

2 – Un premier exemple

Commençons avec l’intégrale :

$A=\int_{0}^{1}\thinspace t\thinspace e^{-t}\thinspace dt$

Toute l’astuce consiste à choisir un « bon » couple $(u,v)$ , autrement dit : voir la fonction $t\mapsto t\thinspace e^{-t}$ comme le produit de deux fonctions… l’une qu’on va dériver (et qu’on notera $u$ ) et l’autre qu’on va primitiver (et qu’on notera $v'$ ).

Le plus naturel consiste à poser :

$u(t)=t\qquad\text{et}\qquad v'(t)=e^{-t}$

puis :

$u'\left(t\right)=1\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-e^{-t}$

Noter que pour $v(t)$ , on a choisi $t\mapsto-e^{-t}$ comme primitive de $t\mapsto e^{-t}$ . On aurait pu, tout aussi bien, choisir $v(t)=-e^{-t}+K$ , avec une valeur arbitraire pour la constante $K$ (la suite du calcul n’en serait pas affectée). Mais le choix $K=0$ semble à la fois plus simple et plus naturel.

En appliquant alors la formule d’IPP, on obtient :

$A=-\frac{1}{e}+\int_{0}^{1}e^{-t}\thinspace dt$

soit finalement :

$\boxed{\int_{0}^{1}\thinspace t\thinspace e^{-t}\thinspace dt=1-\frac{2}{e}}$

3 – La notation « crochets »

Il est d’usage courant, si $F$ désigne une fonction définie sur $[a,b]$ , de noter $[F(t)]_{a}^{b}$ pour désigner la différence $F(b)-F(a)$ , qu’on appelle parfois la variation de $F$ entre $a$ et $b$ .

Si $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est continue et si $F$ désigne une primitive de $f$ , l’égalité

$\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

peut donc s’écrire

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=\left[F\left(t\right)\right]_{a}^{b}}$}$

ou éventuellement

$\int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=\left[F\left(t\right)\right]_{t=a}^{b}$

cette dernière notation pouvant s’avérer utile dans certains contextes, où d’autres symboles sont présents en plus de celui représentant la variable d’intégration. Par exemple, si $n\in\mathbb{N}^\star$ et $a\in\mathbb{R}^\star$ :

$\int_0^xt^ne^{-at}\,dt=\left[-\frac{t^n}{a}e^{-at}\right]_{t=0}^x+\frac{n}{a}\int_0^xt^{n-1}e^{-at}\,dt$

L’intérêt d’écrire $t=0$ plutôt que $0$ est clair : cela permet d’éviter, dans le calcul du terme entre crochets, de remplacer une autre lettre que $t$ par $x$ et par $0$ !

4 – Trois exemples supplémentaires

Calculons chacune des intégrales suivantes :

$B=\int_{0}^{1}t^{2}\thinspace e^{-t}\thinspace dt\qquad C=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\left(t\right)\thinspace dt\qquad D=\int_{1}^{e^{2}}\ln\left(t\right)\thinspace dt$

➡ Pour $B$ , nous allons intégrer par parties en posant :

$u\left(t\right)=t^{2}\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=e^{-t}$

ainsi que :

$u'\left(t\right)=2t\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-e^{-t}$

ce qui conduit à :

$B=\left[-t^{2}\thinspace e^{-t}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}-2t\thinspace e^{-t}\thinspace dt=-\frac{1}{e}+2A$

où $A$ est l’intégrale calculée plus haut ! Ainsi :

$\boxed{\int_{0}^{1}t^{2}\thinspace e^{-t}\thinspace dt=2-\frac{5}{e}}$

➡ Pour $C$ , nous allons intégrer par parties en posant :

$u\left(t\right)=\sin\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=\sin\left(t\right)$

ainsi que :

$u'\left(t\right)=\cos\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-\cos\left(t\right)$

ce qui donne :

$C=\left[-\sin\left(t\right)\cos\left(t\right)\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(t\right)\thinspace dt$

Le terme entre crochets est nul.

Quant à la dernière intégrale écrite, on a intérêt à l’écrire comme ceci :

$\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(t\right)\thinspace dt=\int_{0}^{\pi}\left(1-\sin^{2}\left(t\right)\right)\thinspace dt=\pi-C$

de sorte que $C=\pi-C$ et finalement :

$\boxed{\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\left(t\right)\thinspace dt=\frac{\pi}{2}}$

Remarque

Intégrer par parties n’était pas un passage obligé pour le calcul de $C$ .
On pouvait linéariser l’expression $\sin^{2}\left(t\right)$ en écrivant que, pour tout $t\in\left[0,\pi\right]$ :

$\sin^{2}\left(t\right)=\frac{1-\cos\left(2t\right)}{2}$

ce qui permet un calcul direct :

$C=\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}$

➡ Enfin, pour $D$ , il faut un petit peu d’astuce. Posons :

$u\left(t\right)=\ln\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=1$

ainsi que :

$u'\left(t\right)=\frac{1}{t}\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=t$

ce qui conduit à :

$D=\left[t\ln\left(t\right)\right]_{1}^{e^{2}}-\int_{1}^{e^{2}}\thinspace dt=e^{2}\ln\left(e^{2}\right)-\left(e^{2}-1\right)$

soit finalement :

$\boxed{\int_{1}^{e^{2}}\ln\left(t\right)\thinspace dt=e^{2}+1}$

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