
Avant la réforme des programmes entrée en vigueur à la rentrée 2012, la technique d’intégration par parties était enseignée en terminale scientifique et l’on pouvait tomber sur des exercices relativement intéressants, où le calcul d’une intégrale était envisageable autrement qu’en connaissant d’emblée une primitive.
Après ladite réforme, cette technique de calcul ne figurait plus au programme. Les concepteurs de sujets de bac, qui envisageaient une question de calcul intégral, n’avaient plus beaucoup de choix : privés de cet outil, ils étaient contraints de se limiter à la courte liste des fonctions pour lesquelles une primitive est censée être connue des élèves ou bien, à la rigueur, de faire « constater » aux candidats que telle fonction est une primitive de telle autre. Le sujet était devenu quasi-stérile…
Mais restons optimiste ! A la faveur des nouveaux programmes de 2019, cette technique fondamentale va probablement retrouver la place qu’elle occupait autrefois (et qui, selon moi, lui revient), tout au moins pour les élèves ayant fait le choix d’un enseignement renforcé en mathématiques.
Section 1
Le point de départ est la formule de dérivation d’un produit…
On sait que si sont deux fonctions dérivables, alors :
Faisons maintenant une hypothèse plus forte, à savoir que soient de classe
(c’est-à-dire dérivables et à dérivée continue). On peut alors intégrer l’égalité ci-dessus sur
pour obtenir :
c’est-à-dire :
C’est la formule d’intégration par parties (IPP).
Deux intégrales figurent dans cette formule. Donc, si l’on sait calculer l’une d’elles, alors on sait aussi calculer l’autre ! C’est aussi simple que ça.
2 – Un premier exemple
Commençons avec l’intégrale :
Toute l’astuce consiste à choisir un « bon » couple , autrement dit : voir la fonction
comme le produit de deux fonctions… l’une qu’on va dériver (et qu’on notera
) et l’autre qu’on va primitiver (et qu’on notera
).
Le plus naturel consiste à poser :
Noter que pour , on a choisi
comme primitive de
. On aurait pu, tout aussi bien, choisir
, avec une valeur arbitraire pour la constante
(la suite du calcul n’en serait pas affectée). Mais le choix
semble à la fois plus simple et plus naturel.
En appliquant alors la formule d’IPP, on obtient :
3 – La notation « crochets »
Il est d’usage courant, si désigne une fonction définie sur
, de noter
pour désigner la différence
, qu’on appelle parfois la variation de
entre
et
.
Si est continue et si
désigne une primitive de
, l’égalité







4 – Trois exemples supplémentaires
Calculons chacune des intégrales suivantes :
➡ Pour , nous allons intégrer par parties en posant :

➡ Pour , nous allons intégrer par parties en posant :
Quant à la dernière intégrale écrite, on a intérêt à l’écrire comme ceci :

Remarque
Intégrer par parties n’était pas un passage obligé pour le calcul de .
On pouvait linéariser l’expression en écrivant que, pour tout
:
➡ Enfin, pour , il faut un petit peu d’astuce. Posons :
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