Comment intégrer par parties

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1 – Une note en marge…

En toute rigueur, ce court article ne devrait pas figurer dans la rubrique “Articles de niveau lycée”, car depuis la réforme des programmes d’octobre 2011, entrée en vigueur à la rentrée 2012, les élèves de terminale S n’étudient plus la technique d’intégration par parties…          [soupir]

Jusqu’alors, on pouvait tomber sur des exercices relativement intéressants, où le calcul d’une intégrale pouvait être effectué autrement qu’en connaissant d’emblée une primitive de la fonction intégrée. Comment ? En intégrant par parties, justement !

Privés de cet outil, les concepteurs de sujets de bac qui envisageraient une question de calcul intégral n’ont à présent plus beaucoup de choix : ils sont contraints de faire « constater » aux candidats que telle fonction est une primitive de telle autre, ou bien – pire – de se limiter à la courte liste des fonctions pour lesquelles une primitive est censée être connue des élèves. Le sujet est devenu quasi-stérile…

Mais restons optimiste ! A la faveur d’un futur remaniement des programmes, cette technique fondamentale retrouvera peut-être la place qu’elle occupait autrefois et qui, selon moi, lui revient.

 

2 – “Intégration par parties”  : de quoi s’agit-il ?

Le point de départ est la formule de dérivation d’un produit…

On sait que si u,v:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} sont deux fonctions dérivables, alors :

    \[ \left(uv\right)'=u'v+uv' \]

Faisons maintenant une hypothèse plus forte, à savoir que u,v soient de classe C^{1} (c’est-à-dire dérivables et à dérivée continue). On peut alors intégrer l’égalité ci-dessus sur [a,b] pour obtenir :

    \[ \int_{a}^{b}\left(uv\right)'\left(t\right)\thinspace dt=\int_{a}^{b}u'\left(t\right)\thinspace v\left(t\right)\thinspace dt+\int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace v'\left(t\right)\thinspace dt \]

c’est-à-dire :

    \[ \int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace v'\left(t\right)\thinspace dt=u\left(b\right)\thinspace v\left(b\right)-u\left(a\right)\thinspace v\left(a\right)-\int_{a}^{b}u'\left(t\right)\thinspace v\left(t\right)\thinspace dt \]

C’est la formule d’intégration par parties (IPP).

Deux intégrales figurent dans cette formule. Donc, si l’on sait calculer l’une d’elles, alors on sait aussi calculer l’autre ! C’est aussi simple que ça.

 

3 – Un premier exemple

Commençons avec l’intégrale :

    \[ A=\int_{0}^{1}\thinspace t\thinspace e^{-t}\thinspace dt \]

Toute l’astuce consiste à choisir un « bon » couple (u,v), autrement dit : voir la fonction t\mapsto t\thinspace e^{-t} comme le produit de deux fonctions… l’une qu’on va dériver (et qu’on notera u) et l’autre qu’on va primitiver (et qu’on notera v').

Le plus naturel consiste à poser :

    \[ u(t)=t\qquad\text{et}\qquad v'(t)=e^{-t} \]

puis :

    \[ u'\left(t\right)=1\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-e^{-t} \]

Noter que pour v(t), on a choisi t\mapsto-e^{-t} comme primitive de t\mapsto e^{-t}. On aurait pu, tout aussi bien, choisir v(t)=-e^{-t}+K, avec une valeur arbitraire pour la constante K (la suite du calcul n’en serait essentiellement pas affectée). Mais le choix K=0 semble à la fois plus simple et plus naturel.

En appliquant alors la formule d’IPP, on obtient :

    \[ A=-\frac{1}{e}+\int_{0}^{1}e^{-t}\thinspace dt \]

soit finalement :

    \[ \int_{0}^{1}\thinspace t\thinspace e^{-t}\thinspace dt=1-\frac{2}{e} \]

4 – Un détail de notation

Il est d’usage courant, si F désigne une fonction définie sur [a,b], de noter [F(t)]_{a}^{b} pour désigner la différence F(b)-F(a).

Si f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} est continue et si F désigne une primitive de f, l’égalité

    \[ \int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=F\left(b\right)-F\left(a\right) \]

peut donc s’écrire :

    \[ \int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=\left[F\left(t\right)\right]_{a}^{b} \]

 

5 – Trois exemples supplémentaires

Calculons chacune des intégrales suivantes :

    \[ B=\int_{0}^{1}t^{2}\thinspace e^{-t}\thinspace dt\qquad C=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\left(t\right)\thinspace dt\qquad D=\int_{1}^{e^{2}}\ln\left(t\right)\thinspace dt \]

• Pour B, nous allons intégrer par parties en posant :

    \[ u\left(t\right)=t^{2}\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=e^{-t} \]

ainsi que :

    \[ u'\left(t\right)=2t\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-e^{-t} \]

ce qui conduit à :

    \[ B=\left[-t^{2}\thinspace e^{-t}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}-2t\thinspace e^{-t}\thinspace dt=-\frac{1}{e}+2A \]

A est l’intégrale calculée plus haut ! Ainsi :

    \[ \int_{0}^{1}t^{2}\thinspace e^{-t}\thinspace dt=2-\frac{5}{e} \]

• Pour C, nous allons intégrer par parties en posant :

    \[ u\left(t\right)=\sin\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=\sin\left(t\right) \]

ainsi que :

    \[ u'\left(t\right)=\cos\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-\cos\left(t\right) \]

ce qui donne :

    \[ C=\left[-\sin\left(t\right)\cos\left(t\right)\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(t\right)\thinspace dt \]

Le terme entre crochets est nul. Quant à la dernière intégrale écrite, on a intérêt à l’écrire comme ceci :

    \[ \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(t\right)\thinspace dt=\int_{0}^{\pi}\left(1-\sin^{2}\left(t\right)\right)\thinspace dt=\pi-C \]

de sorte que C=\pi-C et finalement :

    \[ \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\left(t\right)\thinspace dt=\frac{\pi}{2} \]

Remarque : Intégrer par parties n’était pas obligatoire pour le calcul de C.
On pouvait « linéariser » l’expression \sin^{2}\left(t\right) en écrivant que, pour tout t\in\left[0,\pi\right] :

    \[ \sin^{2}\left(t\right)=\frac{1-\cos\left(2t\right)}{2} \]

ce qui permet un calcul direct :

    \[ C=\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2} \]

• Enfin, pour D, il faut un petit peu d’astuce. Posons :

    \[ u\left(t\right)=\ln\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=1 \]

ainsi que :

    \[ u'\left(t\right)=\frac{1}{t}\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=t \]

ce qui conduit à :

    \[ D=\left[t\ln\left(t\right)\right]_{1}^{e^{2}}-\int_{1}^{e^{2}}\thinspace dt=e^{2}\ln\left(e^{2}\right)-\left(e^{2}-1\right) \]

soit finalement :

    \[ \int_{1}^{e^{2}}\ln\left(t\right)\thinspace dt=e^{2}+1 \]

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