Comment intégrer par parties (1)

1 – Une note en marge…

 

Ce court article a pour objectif de vous expliquer ce que signifie “intégrer par parties”.

Depuis la réforme des programmes d’octobre 2011, entrée en vigueur à la rentrée 2012, les élèves de terminale S n’étudient plus la technique d’intégration par parties…          [soupir]

Jusqu’alors, on pouvait tomber sur des exercices relativement intéressants, où le calcul d’une intégrale pouvait être effectué autrement qu’en connaissant d’emblée une primitive de la fonction intégrée. Comment ? En intégrant par parties, justement !

Privés de cet outil, les concepteurs de sujets de bac qui envisageraient une question de calcul intégral n’ont à présent plus beaucoup de choix : ils sont contraints de faire « constater » aux candidats que telle fonction est une primitive de telle autre, ou bien – pire – de se limiter à la courte liste des fonctions pour lesquelles une primitive est censée être connue des élèves. Le sujet est devenu quasi-stérile…

Mais restons optimiste ! A la faveur d’un futur remaniement des programmes, cette technique fondamentale retrouvera peut-être la place qu’elle occupait autrefois et qui, selon moi, lui revient.

2 – “Intégration par parties”  : de quoi s’agit-il ?

 

Le point de départ est la formule de dérivation d’un produit…

On sait que si u,v:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} sont deux fonctions dérivables, alors :

    \[ \left(uv\right)'=u'v+uv' \]

Faisons maintenant une hypothèse plus forte, à savoir que u,v soient de classe C^{1} (c’est-à-dire dérivables et à dérivée continue). On peut alors intégrer l’égalité ci-dessus sur [a,b] pour obtenir :

    \[ \int_{a}^{b}\left(uv\right)'\left(t\right)\thinspace dt=\int_{a}^{b}u'\left(t\right)\thinspace v\left(t\right)\thinspace dt+\int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace v'\left(t\right)\thinspace dt \]

c’est-à-dire :

    \[ \int_{a}^{b}u\left(t\right)\thinspace v'\left(t\right)\thinspace dt=u\left(b\right)\thinspace v\left(b\right)-u\left(a\right)\thinspace v\left(a\right)-\int_{a}^{b}u'\left(t\right)\thinspace v\left(t\right)\thinspace dt \]

C’est la formule d’intégration par parties (IPP)

3 – Un premier exemple

 

Deux intégrales figurent dans cette formule. Donc, si l’on sait calculer l’une d’elles, alors on sait aussi calculer l’autre ! C’est aussi simple que ça. Mettons tout de suite cette technique en œuvre avec l’intégrale :

    \[ A=\int_{0}^{1}\thinspace t\thinspace e^{-t}\thinspace dt \]

Toute l’astuce consiste à choisir un « bon » couple (u,v), autrement dit : voir la fonction t\mapsto t\thinspace e^{-t} comme le produit de deux fonctions… l’une qu’on va dériver (et qu’on notera u) et l’autre qu’on va primitiver (et qu’on notera v').

Le plus naturel consiste à poser :

    \[ u(t)=t\qquad\text{et}\qquad v'(t)=e^{-t} \]

puis :

    \[ u'\left(t\right)=1\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-e^{-t} \]

Noter que pour v(t), on a choisi t\mapsto-e^{-t} comme primitive de t\mapsto e^{-t}. On aurait pu, tout aussi bien, choisir v(t)=-e^{-t}+K, avec une valeur arbitraire pour la constante K (la suite du calcul n’en serait essentiellement pas affectée). Mais le choix K=0 semble à la fois plus simple et plus naturel.

En appliquant alors la formule d’IPP, on obtient :

    \[ A=-\frac{1}{e}+\int_{0}^{1}e^{-t}\thinspace dt \]

soit finalement :

    \[ \int_{0}^{1}\thinspace t\thinspace e^{-t}\thinspace dt=1-\frac{2}{e} \]

4 – Un détail de notation

 

Il est d’usage courant, si F désigne une fonction définie sur [a,b], de noter [F(t)]_{a}^{b} pour désigner la différence F(b)-F(a).

Si f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} est continue et si F désigne une primitive de f, l’égalité

    \[ \int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=F\left(b\right)-F\left(a\right) \]

peut donc s’écrire :

    \[ \int_{a}^{b}f\left(t\right)\thinspace dt=\left[F\left(t\right)\right]_{a}^{b} \]

5 – Trois exemples supplémentaires

 

Calculons chacune des intégrales suivantes :

    \[ B=\int_{0}^{1}t^{2}\thinspace e^{-t}\thinspace dt\qquad C=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\left(t\right)\thinspace dt\qquad D=\int_{1}^{e^{2}}\ln\left(t\right)\thinspace dt \]

• Pour B, nous allons intégrer par parties en posant :

    \[ u\left(t\right)=t^{2}\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=e^{-t} \]

ainsi que :

    \[ u'\left(t\right)=2t\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-e^{-t} \]

ce qui conduit à :

    \[ B=\left[-t^{2}\thinspace e^{-t}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}-2t\thinspace e^{-t}\thinspace dt=-\frac{1}{e}+2A \]

A est l’intégrale calculée plus haut ! Ainsi :

    \[ \int_{0}^{1}t^{2}\thinspace e^{-t}\thinspace dt=2-\frac{5}{e} \]

• Pour C, nous allons intégrer par parties en posant :

    \[ u\left(t\right)=\sin\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=\sin\left(t\right) \]

ainsi que :

    \[ u'\left(t\right)=\cos\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=-\cos\left(t\right) \]

ce qui donne :

    \[ C=\left[-\sin\left(t\right)\cos\left(t\right)\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(t\right)\thinspace dt \]

Le terme entre crochets est nul. Quant à la dernière intégrale écrite, on a intérêt à l’écrire comme ceci :

    \[ \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\left(t\right)\thinspace dt=\int_{0}^{\pi}\left(1-\sin^{2}\left(t\right)\right)\thinspace dt=\pi-C \]

de sorte que C=\pi-C et finalement :

    \[ \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\left(t\right)\thinspace dt=\frac{\pi}{2} \]

Remarque : Intégrer par parties n’était pas obligatoire pour le calcul de C.
On pouvait « linéariser » l’expression \sin^{2}\left(t\right) en écrivant que, pour tout t\in\left[0,\pi\right] :

    \[ \sin^{2}\left(t\right)=\frac{1-\cos\left(2t\right)}{2} \]

ce qui permet un calcul direct :

    \[ C=\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2} \]

• Enfin, pour D, il faut un petit peu d’astuce. Posons :

    \[ u\left(t\right)=\ln\left(t\right)\qquad\text{et}\qquad v'\left(t\right)=1 \]

ainsi que :

    \[ u'\left(t\right)=\frac{1}{t}\qquad\text{et}\qquad v\left(t\right)=t \]

ce qui conduit à :

    \[ D=\left[t\ln\left(t\right)\right]_{1}^{e^{2}}-\int_{1}^{e^{2}}\thinspace dt=e^{2}\ln\left(e^{2}\right)-\left(e^{2}-1\right) \]

soit finalement :

    \[ \int_{1}^{e^{2}}\ln\left(t\right)\thinspace dt=e^{2}+1 \]

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