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Solution pour le challenge 63


Nous allons prouver l’équivalence des assertions :

(1)   \[\fcolorbox{wpGray}{wpGray}{$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)=0}$}\]

(2)   \[\fcolorbox{wpGray}{wpGray}{$K\subset F$}\]

\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)}

Soit \lambda une valeur d’adhérence de la suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} et soit \varphi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} strictement croissante telle que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{\varphi\left(n\right)}=\lambda.}

Comme f est continue, alors {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)=f\left(\lambda\right)}, c’est-à-dire {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}x_{\varphi\left(n\right)+1}=f\left(\lambda\right).}

On voit alors que :

    \[\fcolorbox{wpGray}{wpGray}{$\displaystyle{f\left(\lambda\right)-\lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{\varphi\left(n\right)+1}-x_{\varphi\left(n\right)}\right)=0}$}\]

La dernière égalité résulte de \left(1\right) et du fait que si une suite réelle converge alors toute suite extraite de celle-ci converge aussi et vers la même limite. Finalement \lambda est un point fixe de f.

\boxed{\left(2\right)\Rightarrow\left(1\right)}

Si A\subset\mathbb{R}, A\neq\emptyset et si t\in\mathbb{R}, on note classiquement d\left(t,A\right) la distance de t à A, définie par :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{d\left(t,A\right)=\inf_{a\in A}\left|t-a\right|}$}\]


On rappelle que :

  1. L’application \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto d\left(t,A\right) est 1-lipschitzienne, donc continue.
  2. Si A\subset\mathbb{R} est un compact non vide, alors la distance à A est atteinte, ce qui signifie que pour tout t\in\mathbb{R}, il existe a\in A vérifiant \left|t-a\right|=d\left(t,A\right).
  3. L’ensemble des valeurs d’adhérence d’une quelconque suite réelle est fermé. Par conséquent, comme K est borné (puisque contenu dans \left[0,1\right]), c’est un compact.

Cela dit, nous allons utiliser un petit …

Lemme

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}d\left(x_{n},K\right)=0\]

Preuve du lemme (cliquer pour déplier / replier)

Supposons le contraire. Il existe \epsilon>0 tel que, pour tout N\in\mathbb{N}, on peut trouver un indice n\geqslant N vérifiant d\left(x_{n},K\right)>\epsilon. On peut alors, par récurrence, construire une suite extraite \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}} telle que :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace d\left(x_{\varphi\left(n\right)},K\right)>\epsilon\]

La suite \left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}étant bornée (elle est à termes dans \left[0,1\right]), elle possède (théorème de Bolzano-Weierstrass) une suite extraite convergente \left(x_{\varphi\circ\psi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}, dont la limite est notée \mu. Evidemment, \mu\in K.

Pourtant, en passant à la limite dans l’inégalité d\left(x_{\varphi\circ\psi\left(n\right)},K\right)>\epsilon et compte tenu de la continuité de t\mapsto d\left(t,K\right), on voit que d\left(\mu,K\right)\geqslant\epsilon. En particulier d\left(\mu,K\right)\neq0, ce qui signifie que \mu n’appartient pas à l’adhérence de K, autrement dit que \mu\notin K (puisque K est fermé). Contradiction !

Passons à la preuve de l’implication \left(2\right)\Rightarrow\left(1\right) proprement dite.

Pour tout n\in\mathbb{N}, il existe une valeur d’adhérence \lambda_{n} telle que d\left(x_{n},K\right)=\left|x_{n}-\lambda_{n}\right| (ce qui résulte, comme rappelé plus haut, de la compacité de K).

On observe que :
x_{n+1}-x_{n}=f\left(x_{n}\right)-x_{n}
=\left[f\left(x_{n}\right)-f\left(\lambda_{n}\right)\right]+\left[f\left(\lambda_{n}\right)-\lambda_{n}\right]+\left[\lambda_{n}-x_{n}\right]
D’après le lemme : {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n}-\lambda_{n}\right)=0} et donc, vu que f est uniformément continue (d’après le théorème de Heine), {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(f\left(x_{n}\right)-f\left(\lambda_{n}\right)\right)=0.}

En outre, f\left(\lambda_{n}\right)=\lambda_{n} d’après \left(2\right).

Par conséquent {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)=0,} comme souhaité.

L’équivalence \left(1\right)\Leftrightarrow\left(2\right) est établie.

Remarque

On peut montrer que, lorsque les conditions équivalentes (1) et (2) sont remplies, la suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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