Un sous-groupe additif non dénombrable

Une question classique, située à la jonction entre théorie des groupes et topologie de $\mathbb{R},$ consiste à décrire les sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$ (SGA, en abrégé).

Rappelons qu’un SGA est une partie de $\mathbb{R}$ contenant $0$ et stable par différence.

A cet égard, le principal résultat est le suivant :

Théorème

Etant donné un SGA $H$ de $\mathbb{R},$ non réduit à $\left\{ 0\right\}$ et en notant $a$ la borne inférieure de l’ensemble de ses éléments strictement positifs, de deux choses l’une :

ou bien $a>0,$ auquel cas $H=a\mathbb{Z}$
ou bien $a=0,$ auquel cas $H$ est une partie dense de $\mathbb{R}$

Vous pourrez en suivre une preuve détaillée dans cette vidéo :

Comme exemples de SGA, on peut citer :

les parties de la forme $a\mathbb{Z}=\left\{ ak;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} ,$ pour $a>0$ ,
les sommes de telles parties, comme $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}=\left\{ a+b\sqrt{2};\thinspace\left(a,b\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\}$ ,
l’ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels.

Voici maintenant une question qui n’est pas immédiate :

Existe-t-il des SGA qui soient non dénombrables ?

Évidemment, on met de côté la réponse évidente consistant à prendre $\mathbb{R}$ lui-même.

L’objet de cet article est d’en proposer un exemple explicite. On s’intéresse à :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{G=\left\{ x\in\mathbb{R};\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)=0\right\}}$}$

Il est facile de voir que $G$ est un SGA :

$0\in G$ d’évidence
Si $\left(x,y\right)\in G^{2}$ alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
$\sin\left(\pi10^{10^{n}}\left(x-y\right)\right)=\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\cos\left(\pi10^{10^{n}}y\right)-\cos\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\sin\left(\pi10^{10^{n}}y\right)$
donc :
$\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}\left(x-y\right)\right)\right|\leqslant\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\right|+\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}y\right)\right|\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0$
et donc $x-y\in G.$

En outre, pour tout $n\in\mathbb{N},$ $10^{10^{n}}\equiv1\pmod{9}$ d’où l’existence d’un entier $k_{n}\in\mathbb{N},$ tel que $10^{10^{n}}=9k_{n}+1.$ On voit alors que :

$\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}\frac{1}{9}\right)\right|=\left|\sin\left(\pi\left(9k_{n}+1\right)\frac{1}{9}\right)\right|=\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\neq0$

ce qui prouve que :

$\frac{1}{9}\notin G$

En particulier : $G\neq\mathbb{R}.$ Il reste à voir que $G$ n’est pas dénombrable. Pour cela, considérons l’application

$\varphi:\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace u\mapsto\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u_{n}}{10^{10^{n}}}$

La série converge, d’après le principe de comparaison, puisque :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace0\leqslant\frac{u_{n}}{10^{10^{n}}}\leqslant\frac{1}{10^{n}}$

Par unicité du développement décimal propre, $u$ est injective. Et comme $\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}$ n’est pas dénombrable, il en résulte que $\varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle$ n’est pas dénombrable non plus.

La conclusion va maintenant résulter de l’inclusion $\varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle \subset G.$

Soit $x\in\varphi\left\langle \left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}\right\rangle .$ Il existe une suite $u\in\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}$ telle que :

$x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}=S_{n}+R_{n}$

où l’on a posé, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}\qquad\text{et}\qquad R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}$

On observe, d’une part, que :

$10^{10^{n}}S_{n}\in\mathbb{N}$

et, d’autre part, que :

$0\leqslant\frac{u_{k}}{10^{10^{k}}}\leqslant\frac{1}{10^{10^{k}}}=o\left(\frac{1}{10^{10^{k-1}}}-\frac{1}{10^{10^{k}}}\right)$

d’où (sommation des relations de comparaison et télescopie) :

$R_{n}=o\left(\frac{1}{10^{10^{n}}}\right)$

Il s’ensuit que :

$\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)\right|=\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}S_{n}+\pi10^{10^{n}}R_{n}\right)\right|=\left|\sin\left(\pi10^{10^{n}}R_{n}\right)\right|\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0$

et donc $x\in G.$

En conclusion, l’ensemble

$G=\left\{ x\in\mathbb{R};\thinspace\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\pi10^{10^{n}}x\right)=0\right\}$

est un SGA, distinct de $\mathbb{R}$ et non dénombrable.

Vos questions ou remarques sont les bienvenues. Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact.

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Cet article a 2 commentaires

Oncle Junior 12 Sep 2022 Répondre

Bonjour Monsieur,
Merci pour cette vidéo et cet article très ludiques et instructifs.

Je dois être passé à côté d’une subtilité, mais pourquoi ne pas prendre simplement 10^n au lieu de 10^(10^n)) dans l’argument de la fonction sinus ?

Bien à vous.
1. Nicolas Lailotte 1 Nov 2022 Répondre
  
  Il me semble qu’avec 10^n, on n’a plus sin(pi 10^n Rn) qui tend vers 0 .