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exercice 1 facile

Si \lambda désigne le “point fixe de l’itération”, c’est-à-dire l’unique réel vérifiant :

    \[ \lambda=\frac{\lambda}{3}-\frac{1}{2}\]

alors la suite \left(u_{n}-\lambda\right)_{n\in\mathbb{N}} est particulièrement simple à étudier.

exercice 2 facile

Qu’on obtient-on si l’on ajoute membre à membre les deux formules de récurrence ? Et si on les soustrait ?

exercice 3 facile

Observer que, pour tout n\geqslant1 :

    \[ q_{n+1}=1+q_{n}\prod_{i=0}^{n-1}q_{i}\]

En ce qui concerne S_{n}, je vous suggère de calculer numériquement cette somme pour de petites valeurs de n.

En admettant temporairement la convergence de la suite, il n’est pas difficile de calculer sa limite \ell.

On peut alors trouver un réel q\in\left]0,1\right[ tel que \left|x_{n+1}-\lambda\right|\leqslant q\thinspace\left|x_{n}-\lambda\right| pour tout n\geqslant1.

La preuve de l’inégalité

    \[ \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}>\frac{3}{x}\]

pour x>0 ne devrait pas poser de problème.

Ensuite, on peut considérer la somme H_{3n+1} et regrouper les termes trois par trois à partir du second …

En divisant chaque membre de la formule de récurrence par \left(n+1\right)!, on parvient à exprimer y_{n} sous la forme d’une somme.

Quel est le sens de variation de la suite \left(b_{n}-a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} ?

Vérifier, en utilisant le théorème de la limite monotone, que cette suite converge.

Un conseil : commencer par passer au logarithme, afin de transformer le produit en somme.

Ensuite, il faut penser à une somme de Riemann.

exercice 9 difficile

Quel est le signe de l’expression e^{t}-1-t, pour t\in\mathbb{R} ? Que peut-on dire de trois suites à termes réels positifs dont la somme converge vers 0 ?


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