Indications pour démarrer les exercices sur les suites numériques (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Si désigne le « point fixe de l’itération », c’est-à-dire l’unique réel vérifiant :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(u_{n}-\lambda\right)_{n\in\mathbb{N}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70985709fe7a6dffbaf15a42fd1751b5_l3.png)
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Qu’on obtient-on si l’on ajoute membre à membre les deux formules de récurrence ? Et si on les soustrait ?
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
Observer que, pour tout :
En ce qui concerne je vous suggère de calculer numériquement cette somme pour de petites valeurs de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
En admettant temporairement la convergence de la suite, il n’est pas difficile de calculer sa limite
On peut alors trouver un réel tel que
pour tout
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
La preuve de l’inégalité
![Rendered by QuickLaTeX.com x>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72a0e45805dc43ad27f96050e3d74c14_l3.png)
Ensuite, on peut considérer la somme et regrouper les termes trois par trois à partir du second …
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
En divisant chaque membre de la formule de récurrence par on parvient à exprimer
sous la forme d’une somme.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
Quel est le sens de variation de la suite ?
Vérifier, en utilisant le théorème de la limite monotone, que cette suite converge.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Un conseil : commencer par passer au logarithme, afin de transformer le produit en somme.
Ensuite, il faut penser à une somme de Riemann.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Quel est le signe de l’expression pour
? Que peut-on dire de trois suites à termes réels positifs dont la somme converge vers
?