

Si la formule de récurrence qui définit la suite ne comportait pas le terme
ce serait facile, car on aurait affaire à une suite géométrique de raison
Tâchons de nous ramener à cette situation.
Notons l’unique réel vérifiant :
En soustrayant membre à membre les égalités :
Ceci prouve que la suite définie par :
est géométrique de raison
En particulier, la suite converge vers

Par hypothèse, on a pour tout :
D’après la suite
est constante. Donc :
Et d’après la suite
est géométrique de raison
Donc :
Avec ces deux formules en poche, on calcule aisément et
(en effectuant la demi-somme et la demi-différence) :
On peut à présent conclure. Comme alors
et donc
Ainsi, les suites
et
convergent, toutes les deux, vers

Pour tout :
Si l’on note, pour tout :
On remarque qu’il s’agit de fractions de plus en plus voisines de 1. Plus précisément, il semble bien que, pour tout :
Montrons ceci par récurrence. Comme on vient de le voir, cette propriété est vraie pour ; on peut donc passer directement à l’hérédité :
on suppose vraie pour un certain
et l’on calcule :

Tout d’abord, cette suite est bien définie et à termes strictement positifs. Du coup, pour tout
En cas de convergence vers un réel
un passage à la limite dans cette inégalité montre que
(et, en particulier :
En passant à la limite dans la formule de récurrence, on voit aussi que :
Mais la première de ces deux valeurs est exclue car négative. Bref : la convergence de la suite n’est toujours pas établie, mais si elle a lieu, c’est nécessairement vers le nombre d’or, que nous notons désormais
:
Le principal intérêt de ce qui précède est de nous éclairer sur la valeur de la seule limite possible.
Prouvons maintenant la convergence de cette suite. Pour tout :
donc, vu que
Comme cette dernière majoration permet de conclure que :
L’illustration ci-dessous montre le calcul des premiers termes :


Pour tout :
d’où :
Il en résulte que, pour tout :
c’est-à-dire (en ajoutant 1 à chaque membre) :
Si la suite était convergente, sa limite
vérifierait
ce qui est absurde. Cette suite est donc divergente et, comme elle est croissante (ce qui est évident :
pour tout
elle diverge vers
On attribue cette méthode à Pietro Mengoli Elle évoque une preuve plus classique, qui repose sur le fait que, pour tout
:
Cette preuve plus classique est aussi plus ancienne : on en trouve la trace chez Nicolas d’Oresme ( ca 1323 – 1382).

La relation
On en déduit, après sommation (pour :
c’est-à-dire (vu que
Or, il est bien connu que, pour tout :
et donc, lorsque

L’hypothèse :
peut s’écrire :
Comme la suite est convergente, elle est nécessairement bornée. Et comme la suite
est bornée par hypothèse, on voit que
l’est aussi et elle est en particulier minorée.
On invoque alors le théorème de la limite monotone : la suite est décroissante est minorée, donc convergente.
Pour finir, la suite est convergente puisque c’est la somme de deux suites convergentes.

On passe au logarithme :
c’est-à-dire :
ou encore :
où l’on a posé :
On reconnaît une somme de Riemann attachée à l’application Par conséquent :
Si l’on intègre par parties en posant :
ce qui donne :
Notons cette valeur. On a montré, à ce stade que lorsque
:
ou, de façon plus explicite :

Vues les hypothèses :
Or, on sait (par convexité de l’exponentielle ou par une preuve directe) que :
Il en résulte que :
Montrons que ceci entraîne :
On observe que l’application
induit :
➭ une bijection décroissante
➭ une bijection croissante
Etant donné si
vérifie
alors de deux choses l’une :
- ou bien
auquel cas
- ou bien
auquel cas
et par conséquent :

Comme , il existe
tel que :
Ainsi : et le même argument s’applique aux deux autres suites.
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