Indications pour démarrer les exercices sur les séries numériques (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

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exercice 1 facile

A première vue, cet exercice paraît bien compliqué !

Mais à première vue seulement …

Quelle majoration très simple a-t-on pour d_{n} ?

exercice 2 facile

L’idée est de comparer la suite \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} à une suite géométrique.

Il ne reste plus qu’à en trouver la raison …

exercice 3 facile

Observer (en le justifiant) que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}n^{\mu}e^{-\sqrt{n}}}=0, quel que soit l’exposant réel \mu.

Essayer de minorer cette intégrale par une intégrale plus facile à calculer.

En déduire la divergence de la série proposée.

Trouver la limite de n\thinspace u_{n} ne devrait pas être difficile si vous connaissez le lemme de Cesàro.

Trouver un équivalent de q_{n} lorsque n tend vers +\infty.

On pourra commencer par effectuer un développement asymptotique à trois termes de \cos\left(\frac{1}{n}\right).

Déterminer un réel \lambda tel que la suite \left(x_{n+1}^{\lambda}-x_{n}^{\lambda}\right)_{n\geqslant0} converge vers une limite non nulle.

Appliquer alors le lemme de Cesàro pour obtenir un équivalent de x_{n} lorsque n\rightarrow+\infty. Ceci permettra de connaître la nature de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}x_{n}.}

En posant A_{0}=0 et {\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}} pour tout n\geqslant1, vérifier que :

    \[\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)\]

Il restera alors à comprendre pourquoi le membre de droite de l’égalité ci-dessus admet une limite finie lorsque n\to+\infty.

exercice 9 difficile

On pourra utiliser le résultat suivant (dont une variante a été étudiée à l’exercice précédent) :

Règle d’Abel

Si \left(t_{n}\right)_{n\geqslant1} est une suite décroissante et de limite nulle et si \left(x_{n}\right)_{n\geqslant1} est une suite (complexe) pour laquelle la suite des sommes partielles est bornée, c’est-à-dire :

    \[\exists M>0;\thinspace\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\left|\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right|\leqslant M\]

alors la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}t_{n}x_{n}} converge.

Cette version est expliquée en détails dans le corrigé de l’exercice n° 3 de cette fiche.

En choisissant judicieusement les suites \left(t_{n}\right)_{n\geqslant1} et \left(x_{n}\right)_{n\geqslant1}, on peut produire un exemple de série convergente {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}z_{n}} telle que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}z_{n}^{3}} diverge.


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