Exercices sur les séries numériques - 01

Exercices sur les séries numériques – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:20 juillet 2019
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur les séries numériques (fiche 01).

Soit $\left(a_{n}\right)_{n\geqslant1}$ une suite réelle telle que la série $\sum_{n\geqslant1}a_{n}^{2}$ converge.

Etudier la nature de la série ${\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{a_{n}}{n}}.$

Soit $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs.

Montrer que les séries $\sum_{n\geqslant0}a_{n}$ et $\sum_{n\geqslant0}\frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ sont de même nature.

Vrai ou Faux ?

Etant données trois suites réelles $\left(a_{n}\right)_{n\geqslant0},$ $\left(b_{n}\right)_{n\geqslant0}$ et $\left(c_{n}\right)_{n\geqslant0}$ vérifiant

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$

si les séries $\sum_{n\geqslant0}a_{n}$ et $\sum_{n\geqslant0}c_{n}$ convergent, alors la série $\sum_{n\geqslant0}b_{n}$ converge aussi.

Déterminer la nature de la série $\sum_{n\geqslant2}\frac{1}{\ln\left(n\right)^{\ln\left(n\right)}}.$

En observant que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$\frac{1}{n\thinspace2^{n}}=\int_{0}^{1/2}t^{n-1}\thinspace dt$

prouver que la série $\sum_{n\geqslant1}\frac{1}{n\thinspace2^{n}}$ converge et admet $\ln\left(2\right)$ pour somme.

En exploitant les calculs de l’exercice précédent et en rédigeant un (tout petit) programme informatique, trouver une valeur approchée de $\ln\left(2\right)$ à $10^{-7}$ près.

Soit $\left(a_{n}\right)_{n\geqslant1}$ une suite de réels strictement positifs.
On suppose que :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\,\frac{\ln\left(\frac{1}{a_{n}}\right)}{\ln\left(n\right)}=\alpha$

Montrer que si $\alpha\neq1,$ alors la série $\sum_{n\geqslant1}\,a_{n}$ et la série de Riemann $\sum_{n\geqslant1}\,\frac{1}{n^{\alpha}}$ sont de même nature.