Indications pour démarrer les exercices sur les séries numériques (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Il sera peut-être facile de traiter une question plus générale :
Etant données deux suites réelles et
telles que les séries
et
convergent, on peut montrer que la série
converge aussi.
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Utiliser la règle des équivalents !
Rappel : si et
sont deux suites de réels positifs telle que
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}u_{n}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ead44760327dd3541e814a8105a61b25_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}v_{n}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ef96bd2fef8fe040a3e4b1548889fe9_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-3-small.png)
L’hypothèse peut s’écrire :
A partir de là, la réponse devrait être facile à trouver …
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Si sont deux réels strictement positifs, alors :
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bf3cb2c098c7df2d72eb765a80260a1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com s](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2de2f58c7b5368371c5ab418ed8bc06_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Commencer par exprimer la somme partielle sous forme intégrale, grâce à l’égalité signalée dans l’énoncé.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Il faut pour commencer disposer d’une majoration du reste ce que l’exercice précédent doit normalement apporter. Disons quelque chose du style :
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-243f4d44169fbdd058ea46614119854d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e0d6459b270a2ab1f2394bd8e270d0b_l3.png)
Après, on raisonne par condition suffisante : en notant et
on cherche un entier
tel que
où
est donné.
Pour que cette condition soit remplie, il suffit que
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
On peut adapter à ce contexte la preuve classique de la règle de d’Alembert : on distingue trois cas, selon que
ou
Dans le premier cas, on se donne et l’on essaie de comparer
et
pour
assez grand.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Déjà, il faut savoir que :
Ensuite, une bonne idée consiste à choisir convenablement
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Commencer par vérifier que, pour tout l’application
est une bijection décroissante et tracer son graphe.
Ce graphe présente une symétrie … laquelle et pourquoi ?
Tâcher d’interpréter le terme général de la série comme l’aire d’un domaine assez simple, puis décomposer ce domaine en sous-domaines dont l’aire est soit connue explicitement, soit facile majorer.