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exercice 1 facile

Il sera peut-être facile de traiter une question plus générale :

Etant données deux suites réelles \left(a_{n}\right)_{n\geqslant1} et \left(b_{n}\right)_{n\geqslant1} telles que les séries {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}^{2}} et {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}b_{n}^{2}} convergent, on peut montrer que la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant1}a_{n}b_{n}} converge aussi.

exercice 2 facile

Utiliser la règle des équivalents !

Rappel : si \left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(v_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} sont deux suites de réels positifs telle que

    \[u_{n}\sim v_{n}\qquad\text{lorsque }n\rightarrow\infty\]

alors les séries {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}u_{n}} et {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}v_{n}} sont de même nature.

exercice 3 facile

L’hypothèse peut s’écrire :

    \[ \forall n\in\mathbb{N},\thinspace0\leqslant b_{n}-a_{n}\leqslant c_{n}-a_{n}\]

A partir de là, la réponse devrait être facile à trouver …

Si r,s sont deux réels strictement positifs, alors :

    \[ r^{\ln\left(s\right)}=e^{\ln\left(r\right)\ln\left(s\right)}\]

mais cette dernière expression fait jouer à r et s des rôles symétriques ! Donc …

Commencer par exprimer la somme partielle {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\thinspace2^{k}}} sous forme intégrale, grâce à l’égalité signalée dans l’énoncé.

Il faut pour commencer disposer d’une majoration du reste {\displaystyle R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k\thinspace2^{k}}}, ce que l’exercice précédent doit normalement apporter. Disons quelque chose du style :

    \[ R_{n}\leqslant\alpha_{n}\]

avec \alpha_{n} connu explicitement et tel que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=0} (à vous de voir …).

Après, on raisonne par condition suffisante : en notant {\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\thinspace2^{k}}} et {\displaystyle \sigma=\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}}, on cherche un entier N tel que \left|S_{N}-\sigma\right|\leqslant\epsilon\epsilon>0 est donné.

Pour que cette condition soit remplie, il suffit que \alpha_{n}\leqslant\epsilon.

On peut adapter à ce contexte la preuve classique de la règle de d’Alembert : on distingue trois cas, selon que \alpha>1, \alpha<1 ou \alpha=1.

Dans le premier cas, on se donne \beta\in\left]1,\alpha\right[ et l’on essaie de comparer a_{n} et {\displaystyle \frac{1}{n^{\beta}}} pour n assez grand.

Déjà, il faut savoir que :

    \[ \forall z\in\mathbb{C},\:e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\]

Ensuite, une bonne idée consiste à choisir convenablement z.

exercice 9 difficile

Commencer par vérifier que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star}, l’application \left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right],\thinspace t\mapsto\left(1-t^{n}\right)^{1/n} est une bijection décroissante et tracer son graphe.

Ce graphe présente une symétrie … laquelle et pourquoi ?

Tâcher d’interpréter le terme général de la série comme l’aire d’un domaine assez simple, puis décomposer ce domaine en sous-domaines dont l’aire est soit connue explicitement, soit facile majorer.


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