Exercices sur le produit scalaire - 01

Neuf énoncés d’exercices sur la notion de produit scalaire (fiche 01).

Soient $a,b\in\mathbb{R}$ distincts. Pour tout couple $\left(P,Q\right)$ de polynômes de degré inférieur ou égal à 1, on pose :

$\left(P\mid Q\right)=P\left(a\right)Q\left(a\right)+P\left(b\right)Q\left(b\right)$

Vérifier que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}_{1}\left[X\right]$ et que la famille $\left(X-a,X-b\right)$ est une base orthogonale.

Proposer ensuite une généralisation de ce résultat.

Soit $E$ un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel muni d’un produit scalaire.

A tout vecteur $a\in E,$ on associe la forme linéaire :

$\varphi\left(a\right):E\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\left(a\mid x\right)$

On dispose ainsi d’une application $\varphi$ de $E$ vers son dual (le dual de $E$ est, par définition, l’espace des formes linéaires sur $E,$ c’est-à-dire $\mathcal{L}\left(E,\mathbb{R}\right)).$

Montrer que si $E$ est de dimension finie, alors $\varphi$ est un isomorphisme.

Que peut-on dire si $E$ est de dimension infinie ? [ cette question est plus difficile ]

L’inégalité de Cauchy-Schwarz figure dans le top 3 des inégalités les plus importantes en mathématiques (en concurrence, sans doute, avec l’inégalité triangulaire et celle des accroissements finis …).

Dans cet exercice, on étudie deux preuves. La première est la plus commune. La seconde est due au mathématicien Paul Halmos (1916 – 2006).

On considère un espace préhilbertien (réel) $E,$ ainsi qu’un couple $\left(x,y\right)$ de vecteurs de $E.$ On se propose de montrer que :

$\left|\left(x\mid y\right)\right|\leqslant\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert$

et, de plus, que l’égalité a lieu si et seulement si la famille $\left(x,y\right)$ est liée.

Preuve 1

On pose pour tout $t\in\mathbb{R}$ :

$P\left(t\right)=\left\Vert tx+y\right\Vert ^{2}$

Conclure en examinant les propriétés de l’application $P.$

Preuve 2

On suppose que $x$ et $y$ sont non nuls. Conclure en développant l’expression :

$\frac{1}{2}\left\Vert \frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }-\frac{\epsilon y}{\left\Vert y\right\Vert }\right\Vert ^{2}$

où l’on a posé :

$\epsilon=\left\{\begin{array}{cc} 1 & \text{si }\left(x\mid y\right)\geqslant0\\ \\ -1 & \text{sinon} \end{array}\right.$

Soit $E$ un espace euclidien et soit $\varphi$ une forme bilinéaire sur $E.$ Montrer qu’il existe $A\geqslant0$ tel que :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left|\varphi\left(x,y\right)\right|\leqslant A\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert$

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geqslant2$ et soit $S=\left\{x\in E;\thinspace\left\Vert x\right\Vert =1\right\}.$

On considère l’application :

$f:S^{3}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace\left(x,y,z\right)\mapsto\left(x\mid y\right)+\left(y\mid z\right)+\left(z\mid x\right)$

Montrer que $f$ est bornée et calculer ses bornes inférieure et supérieure.

Si $f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ est continue, positive et d’intégrale nulle, alors $f$ est l’application nulle.

Prouver ce résultat et en déduire que si $\omega:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ est continue et strictement positive, alors la formule :

$\left(f\mid g\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\omega\left(t\right)\thinspace dt$

définit un produit scalaire sur l’espace $E$ des applications continues de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb{R}.$

Quelles hypothèses plus faibles peut-on faire sur $\omega$ sans altérer ce résultat ?

On note $E$ l’espace des applications de classe $C^{2}$ de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb{R}.$ Pour tout $f\in E,$ on pose :

$N\left(f\right)=\left[f\left(0\right)^{2}+f'\left(1\right)^{2}+\int_{0}^{1}f''\left(t\right)^{2}\thinspace dt\right]^{1/2}$

Prouver que $N$ est une norme sur $E.$

Calculer :

$\inf_{\left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^{3}}\int_{0}^{+\infty}\left(t^{3}-at^{2}-bt-c\right)^{2}e^{-t}\thinspace dt$

en précisant pour quel(s) triplet(s) cette borne inférieure est atteinte.

On pourra penser à la notion de projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.

Soit $E$ l’espace des applications continues de $\left[0,1\right]$ dans $\mathbb{R},$ muni du produit scalaire défini par :

$\forall\left(f,g\right)\in E^{2},\thinspace\left(f\mid g\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)g\left(t\right)\thinspace dt$

Pour toute partie fermée $A$ de $\left[0,1\right],$ on note :

$V_{A}=\left\{f\in E;\thinspace\forall t\in A,\thinspace f\left(t\right)=0\right\}$

Déterminer $\left(V_{A}\right)^{\bot}.$

Est-il restrictif de se limiter aux parties fermées ?

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