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exercice 1 facile

Pour généraliser, considérer a_{0},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R} tous distincts et poser :

    \[\forall\left(P,Q\right)\in\mathbb{R}_{n}\left[X\right]^{2},\quad\left(P\mid Q\right)=\sum_{i=0}^{n}P\left(a_{i}\right)Q\left(a_{i}\right)\]

exercice 2 facile

Il faut commencer par prouver (sans faire d’hypothèse de dimension sur E) que \varphi est linéaire et montrer ensuite que \varphi injective.

Attention de ne pas confondre \varphi et \varphi\left(a\right)

⇨ Lorsque E est supposé de dimension finie, on peut ensuite établir la surjectivité de \varphi, mais de manière indirecte.

⇨ Pour le cas où E est dimension infinie, l’exemple suivant pourra être étudié :

E est l’espace des applications continues de \left[0,1\right] dans \mathbb{R}, muni du produit scalaire défini par

    \[ \forall\left(f,g\right)\in E^{2},\;\left(f\mid g\right)=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]

Soit L la forme linéaire sur E définie par :

    \[ \forall f\in E,\thinspace L\left(f\right)=f\left(0\right)\]

On peut montrer montrer que L ne possède aucun antécédent par \varphi. A vous de jouer !

exercice 3 facile

Pour la preuve 1

Si x\neq0_{E}, alors P est un trinôme de signe constant. Que dire alors de son discriminant ?

Pour la preuve 2

Le développement de l’expression proposée doit donner

    \[ 1-\frac{\epsilon\left(x\mid y\right)}{\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert }\]

Sans oublier qu’on connaît le signe de cette expression !

Choisir une base orthonormale \left(e_{1},\cdots,e_{n}\right) puis développer \varphi\left(x,y\right) par bilinéarité, après avoir exprimé les vecteurs x et y dans cette base. Au cours de la majoration de \left|\varphi\left(x,y\right)\right|, une expression du type {\displaystyle \sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}x_{i}y_{j}} doit apparaître : il faudra la factoriser.

Pour majorer, on peut penser à Cauchy-Schwarz.

Pour minorer, je vous suggère de développer \Vert x+y+z\Vert^2.

La première partie de la question constitue un lemme classique de calcul intégral. Voici comment l’aborder …

On suppose f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} continue, positive et d’intégrale nulle. Pour montrer que f est identiquement nulle, on suppose le contraire, à savoir qu’il existe c\in\left[0,1\right] tel que f\left(c\right)>0. On peut même supposer que c\in\left]0,1\right[ (pourquoi ?).

On justifie alors l’existence d’un segment \left[c-\alpha,c+\alpha\right], contenu dans \left[0,1\right] et tel que f\left(t\right)\geqslant\frac{1}{2}f\left(c\right) pour tout t\in\left[c-\alpha,c+\alpha\right], ce qui va engendrer une contradiction.

Etant donnés un \mathbb{R}-espace vectoriel E et une application N:E\rightarrow\mathbb{R}^{+}, on dit que N est une norme sur E lorsque :

[ homogénéïté ]

\forall\left(\lambda,x\right)\in\mathbb{R}\times E,\thinspace N\left(\lambda x\right)=\left|\lambda\right|\thinspace N\left(x\right)

[ inégalité triangulaire ]

\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace N\left(x+y\right)\leqslant N\left(x\right)+N\left(y\right)

[ condition de séparation ]

\forall x\in E,\thinspace N\left(x\right)=0\Rightarrow x=0_{E}

On doit pouvoir vérifier chacun de ces trois points (très facilement pour deux d’entre eux, et … moins facilement pour le troisième !).

Mais il y a peut-être un meilleur point de vue … Regardez donc l’intitulé de cette fiche d’exercices !

Si l’on considère :

  • E=\mathbb{R}_{3}\left[X\right], l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 3,
  • le produit scalaire défini sur E par :

        \[\forall\left(P,Q\right)\in E^{2},\thinspace\left(P\mid Q\right)=\int_{0}^{+\infty}P\left(t\right)Q\left(t\right)e^{-t}\thinspace dt\]

  • le sous-espace F=\mathbb{R}_{2}\left[X\right],
  • et le polynôme P=X^{3}\in E

alors la quantité :

    \[\varphi\left(a,b,c\right)=\int_{0}^{+\infty}\left(t^{3}-at^{2}-bt-c\right)^{2}e^{-t}\thinspace dt\]

s’interprète comme le carré de la distance de P au polynôme aX^{2}+bX+c,
qui parcourt F lorsque \left(a,b,c\right) parcourt \mathbb{R}^{3}.

On cherche à minimiser cette distance …

Pour les pré-requis théoriques, on pourra se reporter à cet article et, tout particulièrement, à la section 3 de celui-ci.

exercice 9 difficile

Si f\in\left(V_{A}\right)^{\bot}, alors f est en particulier orthogonale à …. ?

Penser à faire intervenir la fonction ” distance à A “, qui est continue (pourquoi ?).


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