Exercices sur les opérations - 01

Exercices sur les opérations – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:25 octobre 2020
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur la notion d’opération sur un ensemble (fiche 01).

Quels sont les triplets $\left(\alpha,\beta,\gamma\right)$ de réels pour lesquels l’opération $\star$ dans $\mathbb{R}$ par :

$\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace a\star b=\alpha a+\beta b+\gamma ab$

est associative ?

On note $\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)$ l’ensemble des matrices carrées de taille 2, à coefficients entiers. On munit $\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)$ du produit matriciel usuel.

Préciser quels sont les éléments inversibles, c’est-à-dire les matrices $A\in\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)$ pour lesquelles il existe $B\in\mathcal{M}_{2}\left(\mathbb{Z}\right)$ vérifiant $AB=BA=I_{2},$ où $I_{2}$ désigne la matrice unité : $I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right].$

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orienté. Comme signalé à la fin de la section 1 de cet article, le produit vectoriel n’est pas associatif dans $E.$

Sauriez-vous caractériser les triplets $\left(u,v,w\right)\in E^{3}$ tels que $\left(u\wedge v\right)\wedge w=u\wedge\left(v\wedge w\right)$ ?

Etant donné un ensemble non vide $E,$ on munit $E^{E}$ de la loi $\circ$ (composition des applications). Quels sont les éléments inversibles à droite ? Quels sont ceux inversibles à gauche ?

Etant données deux suites réelles $a=\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $b=\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},$ on pose :

$a\star b=\left(c_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\quad\text{avec : }\forall n\in\mathbb{N},\thinspace c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

Montrer que l’opération $\star$ est associative, qu’elle admet un élément neutre puis déterminer les éléments inversibles.

Soient $A,B$ deux parties d’un ensemble $E.$ Résoudre dans $\mathcal{P}\left(E\right)$ chacune des équations :

$A\cap X=B$

$A\cup X=B$

On suppose que $\star$ est une opération sur un ensemble $E,$ qu’il existe un élément neutre $e$ et que $A$ est une partie de $E,$ stable pour $\star$ (ce qui signifie que $\forall\left(x,y\right)\in A^{2},\thinspace x\star y\in A).$