Indications pour démarrer les exercices sur l’indépendance linéaire (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.


On peut se donner une combinaison linéaire nulle de puis évaluer en trois valeurs bien choisies… mais c’est moche !
Il est plus élégant de comparer les comportements au voisinage de des trois fonctions.

Réviser la formule d’addition puis s’en servir !

Observer que et
appartiennent à un même plan vectoriel.

Ces trois affirmations sont respectivement vraie, fausse et fausse.
Maintenant, à vous d’expliquer pourquoi !

Comme est liée, il existe des scalaires
non tous nuls tels que :


Pour le premier comme pour le second point, il faut en effet « viser la cible » !
Si ceci n’est pas clair pour vous, je vous suggère de consulter cet article, qui explique comment s’y prendre en général pour établir une implication.
Concrètement, pour le premier point : considérer un famille libre et se donner des scalaires
tels que
puis expliquer pourquoi les
sont nécessairement tous nuls.

Comme il suffit de montrer que cette famille est libre.
Pour cela, on peut utiliser la formule de Taylor :



Pour l’implication il s’agit de montrer qu’une certaine application est surjective.
Pour la réciproque, l’hypothèse nous autorise à choisir arbitrairement… On peut par exemple choisir
et
pour tout

Pour tout la famille
étant liée, il existe des réels
et
non tous deux nuls et tels que
Il serait sympathique que les suites et
soient convergentes et de plus que leurs limites
et
ne soient pas toutes deux nulles. Un simple passage à la limite donnerait
ce qui prouverait que
est liée.
Oui, mais voilà : les suites et
n’ont aucune raison de converger…
Et même si elles convergeaient toutes les deux, leurs limites pourraient très bien être toutes deux nulles…
Il faut trouver un moyen de se ramener à la situation « sympathique » décrite ci-dessus.