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exercice 1 facile

On peut se donner une combinaison linéaire nulle de f,g,h puis évaluer en trois valeurs bien choisies… mais c’est moche !

Il est plus élégant de comparer les comportements au voisinage de 0 des trois fonctions.

exercice 2 facile

Réviser la formule d’addition \sin\left(a+b\right)=\cdots puis s’en servir !

exercice 3 facile

Observer que f,g et h appartiennent à un même plan vectoriel.

Ces trois affirmations sont respectivement vraie, fausse et fausse.
Maintenant, à vous d’expliquer pourquoi !

Comme \left(x_{1},\cdots,x_{n},y\right) est liée, il existe des scalaires \lambda_{1},\cdots,\lambda_{n},\mu non tous nuls tels que :

    \[ \lambda_{1}x_{1}+\cdots+\lambda_{n}x_{n}+\mu y=0_{E}\]

Que se passerait-il si \mu=0 ?

Pour le premier comme pour le second point, il faut en effet “viser la cible” !

Si ceci n’est pas clair pour vous, je vous suggère de consulter cet article, qui explique comment s’y prendre en général pour établir une implication.

Concrètement, pour le premier point : considérer un famille libre \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) et se donner des scalaires \lambda_{1},\cdots,\lambda_{n} tels que \lambda_{1}\thinspace u\left(x_{1}\right)+\cdots+\lambda_{n}\thinspace u\left(x_{n}\right)=0_{F}, puis expliquer pourquoi les \lambda_{i} sont nécessairement tous nuls.

Comme \dim\left(\mathbb{R}_{n}\left[X\right]\right)=n+1, il suffit de montrer que cette famille est libre.

Pour cela, on peut utiliser la formule de Taylor :

    \[P(X+a)=\sum_{k=0}^n\frac{a^k}{k!}P(X)^{(k)}\]

valable pour tout a\in\mathbb{R} et tout polynôme P de degré n.

Pour l’implication \left(1\right)\Rightarrow\left(2\right), il s’agit de montrer qu’une certaine application est surjective.

Pour la réciproque, l’hypothèse nous autorise à choisir \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n} arbitrairement… On peut par exemple choisir x_{1}=1 et x_{i}=0 pour tout i\in\left{ 2,\cdots,n\right} .

exercice 9 difficile

Pour tout n\in\mathbb{N}, la famille \left(x_{n},y_{n}\right) étant liée, il existe des réels \alpha_{n} et \beta_{n} non tous deux nuls et tels que \alpha_{n}x_{n}+\beta_{n}y_{n}=0.

Il serait sympathique que les suites \left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(\beta{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} soient convergentes et de plus que leurs limites r et s ne soient pas toutes deux nulles. Un simple passage à la limite donnerait ra+sb=0_{E}, ce qui prouverait que \left(a,b\right) est liée.

Oui, mais voilà : les suites \left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} et \left(\beta{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} n’ont aucune raison de converger…

Et même si elles convergeaient toutes les deux, leurs limites pourraient très bien être toutes deux nulles…

Il faut trouver un moyen de se ramener à la situation “sympathique” décrite ci-dessus.


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