Exercices sur l'indépendance linéaire - 01

Exercices sur l’indépendance linéaire – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:16 juillet 2019
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur l’indépendance linéaire (fiche 01)

On définit trois applications $f,g,h$ sur $\mathbb{R}$ par :

$\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left\{\begin{array}{ccc} f\left(x\right) & = & x\sin\left(x\right)\\ g\left(x\right) & = & x^{2}\sin\left(2x\right)\\ h\left(x\right) & = & x^{3}\sin\left(3x\right) \end{array}\right.$

Montrer que la famille $\left(f,g,h\right)$ est libre dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}.$

On définit trois applications $F,G,H$ sur $\mathbb{R}^{2}$ par :

$\forall\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace\left\{\begin{array}{ccc} F\left(x,y\right) & = & \sin\left(2x+3y\right)\\ G\left(x,y\right) & = & \sin\left(x+2y\right)\cos\left(x+y\right)\\ H\left(x,y\right) & = & \cos\left(x+2y\right)\sin\left(x+y\right) \end{array}\right.$

La famille $\left(F,G,H\right)$ est-elle libre dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}^{2}}$ ?

Montrer que les trois applications $f,g,h$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left\{\begin{array}{ccc} f\left(x\right) & = & \sin\left(x+1\right)\\ g\left(x\right) & = & \sin\left(x+2\right)\\ h\left(x\right) & = & \sin\left(x+3\right) \end{array}\right.$

forment une famille liée.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et soient $u,v,w$ trois vecteurs de $E.$

Vrai ou Faux ? Si $\left(u,v,w\right)$ est libre, alors $\left(u,v\right),$ $\left(u,w\right)$ et $\left(v,w\right)$ sont libres.
Vrai ou Faux ? Si $\left(u,v\right),$ $\left(u,w\right)$ et $\left(v,w\right)$ sont libres, alors $\left(u,v,w\right)$ est libre.
Vrai ou Faux ? Si $\left(u,v\right)$ et $\left(u,w\right)$ sont liées alors $\left(v,w\right)$ est liée.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et soit $\left(x_{1},\cdots,x_{n},y\right)$ un famille de $n+1$ vecteurs.
Montrer que si $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ est libre et si $\left(x_{1},\cdots,x_{n},y\right)$ est liée, alors $y\in\text{vect}\left\{x_{1},\cdots,x_{n}\right\} .$

Soient $E,F$ des $\mathbb{K}$ -espaces vectoriels et soit $u:E\rightarrow F$ une application linéaire.
On considère une famille $X=\left(x_{1},\cdots,x_{q}\right)$ de vecteurs de $E.$
On note $Y=\left(u\left(x_{1}\right),\cdots,u\left(x_{q}\right)\right).$
Montrer que :

si $u$ est injective et si $X$ est libre, alors $Y$ est libre.
si $u$ est surjective et $X$ est génératrice de $E,$ alors $Y$ est génératrice de $F.$

Soit $P\left(X\right)\in\mathbb{R}\left[X\right]$ un polynôme de degré $n$ et soient $t_{0},\cdots,t_{n}$ des réels tous distincts.
Montrer que la famille $\left(P\left(X+t_{0}\right),\cdots,P\left(X+t_{n}\right)\right)$ est une base de $\mathbb{R}_{n}\left[X\right].$

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev de dimension $n\geqslant1$ et soient $\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}$ des formes linéaires sur $E.$
Montrer l’équivalence des assertions :

$\left(\varphi_{1},\cdots,\varphi_{n}\right)$ est libre
$\forall\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{K}^{n},\,\exists v\in E,\,\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\,\varphi_{i}\left(v\right)=x_{i}$

On considère un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel normé $E$ .
Soient $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites convergentes à termes dans $E.$
Leurs limites respectives sont notées $a$ et $b.$

Montrer que si la famille $\left(x_{n},y_{n}\right)$ est liée pour tout $n\in\mathbb{N},$ alors la famille $\left(a,b\right)$ est aussi liée.

La réciproque est-elle vraie ?

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Étiquettes : algèbre linéaire, application linéaire, combinaison linéaire, famille génératrice, famille libre, famille liée, formule de Taylor, indépendance linéaire, Math-OS, MP*, MPSI, PC*, PCSI, polynômes, suite extraire

Cet article a 2 commentaires

Salif 15 Déc 2020 Répondre

Bonjour, comment allez-vous ? Que Dieu vous bénisse à jamais.
1. René Adad 15 Déc 2020 Répondre
  
  Merci Salif 🙂