Exercices sur la factorielle – 02

Neuf énoncés d’exercices sur la factorielle (fiche 02).

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exercice 1 facile

Expliciter u_{n} pour tout n\in\mathbb{N} sachant que :

    \[u_{0}=u_{1}=1\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace u_{n+1}=n\left(u_{n}+u_{n-1}\right)\]

exercice 2 facile

On pose, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[B_{n}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\thinspace k!\]

Déterminer les entiers n pour lesquels B_{n} est multiple de 9.

exercice 3 facile

Calculer :

    \[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n!\right)^{1/n}}{n}\]

Soient r\geqslant2 et a_{1},\cdots,a_{r}\geqslant1 des entiers. On pose :

    \[P=\prod_{i=1}^{r}a_{i}!\qquad\text{et}\qquad F=\left(\sum_{i=1}^{r}a_{i}\right)!\]

Prouver que : P\mid F.

Prouver que \left(ab\right)! est multiple de a!\thinspace b!, pour tout couple \left(a,b\right)\in\mathbb{N}^{2}.

Montrer que, pour tout couple \left(k,n\right) d’entiers vérifiant 1\leqslant k\leqslant n :

    \[n\mid\binom{nk}{k}\]

En déduire que a!\,\left(b!\right)^{a}\,\vert\,\left(ab\right)! pour tout couple \left(a,b\right) d’entiers naturels.

Montrer que \left(2n\right)!\leqslant2\thinspace n^{2n}, pour tout n\in\mathbb{N}.

Trouver tous les entiers n\geqslant1 tels que 2^{n-1} divise n!

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\frac{\left(30n\right)!\thinspace n!}{\left(15n\right)!\thinspace\left(10n\right)!\thinspace\left(6n\right)!}\in\mathbb{N}\]

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