![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Le calcul des premiers termes de cette suite donne, successivement :
ce qui nous amène naturellement à conjecturer que :
Vue la manière dont cette suite a été définie, il s’agira d’une récurrence d’ordre 2.
Et comme l’initialisation est faite (largement), on peut passer à l’hérédité.
Supposons donc qu’on ait et
pour un certain
Alors :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
On calcule facilement :
![Rendered by QuickLaTeX.com B_{1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e02e5e338b47c913910c1b7dadd48aaf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B_{4}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d302cdc2d95cfc5cac4ff26aa1def633_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 447\equiv6\pmod{9})](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c04afce6683c654b0a2769f8d669492d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B_{2}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44af5accf50691604a3d277a165a8601_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com B_{3}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14eea0aa51a5ea6c759c43338ce68a7e_l3.png)
On calcule ensuite :
![Rendered by QuickLaTeX.com 9\mid B_{5}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-107a7f04294445e2ad539c8cb7bbb272_l3.png)
Une récurrence vient d’être initialisée. Supposons que, pour un certain on ait :
Comme est multiple de
alors
et donc
puisque
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
On va utiliser la :
Proposition
Soit une suite de réels strictement positifs.
Si , alors :
Ce résultat est une conséquence immédiate du lemme de Cesàro, appliqué à la suite
Cela dit, posons pour tout :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
On observe que :
Remarque
Posons . Le nombre entier :
Etant donnés objets et
cases numérotées de 1 à
cet entier indique le nombre de façons de placer :
objets dans la case 1,
objets dans la case 2,
- etc …,
- les
objets restants dans la case
Lorsque (et donc
on retrouve le coefficient binomial ordinaire :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Si l’un des deux entiers ou
vaut 0 ou 1, le résultat est évidemment vrai.
Supposons maintenant que
Alors car
Il s’ensuit que
Par ailleurs puisque :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Selon la formule du pion :
![Rendered by QuickLaTeX.com k](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42907eb1105c88299912e9f673e9a6b3_l3.png)
()
![Rendered by QuickLaTeX.com a](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b566a9f93f9d3d679507f8974d0776c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com b](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e54c4606867c5070b652fae5d8c3265e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a=1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fdb9a520593070ba14da0af6daecf4d1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a\geqslant1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72be94ceeafc694dc9fa6034f4691645_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com Q\in\mathbb{N}^{\star}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e03abedf152be159b7d3e4dd0f755269_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(ab\right)!=Q\,a!\,\left(b!\right)^{a}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5a40132b00c532c20a9694a77bf2a9a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\diamondsuit\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc291d7cc34630496cb2fe43af957fc1_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
L’inégalité est vraie pour
(c’est une égalité).
Supposons-la vraie pour un certain Alors :
()
Or, la suite de terme général
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d565813cf18ba25ee62fe4cf3e08c6a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\spadesuit\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-923bd321ed5a0b7e23e6d6db3448f5af_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2\left(2n+1\right)\leqslant4\left(n+1\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fdd737c31777b2b98534554ba9f5ec44_l3.png)
On a prouvé par récurrence que :
Voici maintenant une autre preuve, plus élégante.
On observe que :
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\left\llbracket 1,n-1\right\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-272e1bd9c284ef54c61a0f078a097472_l3.png)
Il en résulte que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Commençons par établir le corollaire suivant de la formule de Legendre :
Corollaire
Etant donnés et
on note
la somme des chiffres en base
de
Alors :
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Décomposons en base
:
![Rendered by QuickLaTeX.com i\in\left\llbracket 1,d\right\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-874a70e263c35da99bbd6843ac7423c8_l3.png)
()
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\star\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d928fdc3003a591d91c4792b57b630c9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle S_{p}\left(n\right)=\sum_{k=0}^{d}\,a_{k}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f26650c3e761d110e9c1a0bc072037e2_l3.png)
Venons-en maintenant à l’exercice. La condition équivaut à
Or, en remplaçant par 2 dans le corollaire ci-dessus :
![Rendered by QuickLaTeX.com s\left(n\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7721a6f29c2ec9d01ac4224890d0cfa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee5c9f9d7ebf6adb13f2cf8ed662d306_l3.png)
Ainsi, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com s\left(n\right)=1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb059ce8d5625d290f14f9c5863a1c87_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
La formule de Legendre donne :
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-078b8a8ee410e1cf6ae0e784f3daaa3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\left[0,1\right[,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40f73a6382ce975d8bc40e55700c2063_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \forall\left(t,n\right)\in\mathbb{R}\times\mathbb{Z},\thinspace\left\lfloor t+n\right\rfloor =\left\lfloor t\right\rfloor +n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aeea845ce4b59fd145317797fe7c5c0b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 30+1-15-10-6=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb01e5b8399b1fb71a9cb418dfef59f_l3.png)
Soit donc et soit
Alors :
![Rendered by QuickLaTeX.com k,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b87d6eb1d8bdbad5b1d196fb6e0f5ca8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\lfloor 6x\right\rfloor ,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a98cc53cfe206040af50b43c9def2bfb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\lfloor 10x\right\rfloor ,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61db9615115a7fbbc649bdb0959444fd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\lfloor 15x\right\rfloor](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0786dc4807159d86ba3e0fbcb2c2fb8f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\lfloor 30x\right\rfloor .](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59a2a56d8a69ef8a03e9d844f0204256_l3.png)
On constate, à chaque fois, la positivité de :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/illustration-exo-II-9.png)
On notera que la fonction est à valeurs dans
.
Cette fonction a été utilisée par le mathématicien russe P. Tchebytchev pour établir le théorème selon lequel, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi(x)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07be1cd4bca02f84d6838de4d9947404_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \lambda,\mu](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6fbe7e186834dfe5ba0243150f0d37e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0<\lambda<1<\mu](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18d9d351f2dc59db6b8e1627d5db4d9b_l3.png)
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