Exercices sur la dérivation des fonctions – 02

Neuf énoncés d’exercices sur la dérivation des fonctions – 02

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exercice 1 facile

L’application {\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{x}{1+\left|x\right|}} est-elle dérivable en 0 ?

Quel peut bien être l’intérêt de cet exercice ?

exercice 2 facile

Trouver, pour tout x\in\left]-1,1\right[, une expression plus simple pour :

    \[f\left(x\right)=\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\]

exercice 3 facile

Soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} dérivable. On suppose que f' est impaire. Que peut-on dire de f ?

Même question en supposant plutôt que f' est paire.

Soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} dérivable. Pour tout n\in\mathbb{N}, on note f^{n} la n-ème itérée de f. On rappelle que, par définition :

    \[f^{0}=id_{\mathbb{R}}\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace f^{n+1}=f^{n}\circ f\]

  • On suppose que f'\left(0\right)=0. Calculer \left(f^{n}\right)'\left(0\right) pour tout n\geqslant1.
  • Même question en supposant que f\left(0\right)=0 et f'\left(0\right)=1.

On considère l’application f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto e^{x}\sin\left(x\right).

Calculer f^{\left(n\right)}\left(0\right) pour tout n\in\mathbb{N}.

On pose, pour tout x>0 :

    \[f\left(x\right)=\int_{x}^{2x}\frac{e^{t}}{t}\thinspace dt\]

Montrer que f est prolongeable en une application dérivable sur \left[0,+\infty\right[.

Préciser les valeurs de f\left(0\right) et de f'\left(0\right).

On pose, pour tout x>0 :

    \[f\left(x\right)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin\left(t\right)}{x+t}\thinspace dt\]

Justifier que f est bien définie sur \left]0,+\infty\right[, deux fois dérivable et calculer f''\left(x\right)+f\left(x\right) pour tout x>0.

Soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} de classe C^{\infty}. On suppose qu’il existe un polynôme P de degré impair tel que :

    \[\forall\left(n,x\right)\in\mathbb{N}\times\mathbb{R},\thinspace\left|f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right|\leqslant\left|P\left(x\right)\right|\]

Montrer que f est l’application nulle.

exercice 9 difficile

Soit f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} de classe C^{\infty} et bornée. On suppose que f s’annule au moins n fois (pour un certain entier n\geqslant1) et l’on considère un réel \alpha\neq0. Montrer que l’application g définie par :

    \[\forall t\in\mathbb{R},\thinspace g\left(t\right)=f'\left(t\right)+\alpha\thinspace f\left(t\right)\]

s’annule au moins n fois.

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