Exercices sur les coefficients binomiaux - 01

Exercices sur les coefficients binomiaux – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:29 février 2020
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur les coefficients binomiaux (fiche 01)

Calculer (sans utiliser de calculette ni d’ordinateur !) les nombres :

$A=\binom{7}{3},\quad B=\binom{12}{10},\quad C=\binom{8}{4}$

La formule de Fermat :

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\thinspace\left(n-k\right)!}$

est présentée dans cet article. Un peu plus bas dans la même section, on trouve sa version simplifiée (pour $1\leqslant k\leqslant n$ ) :

$\binom{n}{k}=\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}$

Ecrire en Python une fonction qui calcule $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ à l’aide de cette formule simplifiée.

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N},$ l’entier $\displaystyle{\binom{2n}{n}}$ est divisible par $n+1.$

On voit aisément (comment ?) que :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\binom{n}{k}=0$

Proposer une interprétation combinatoire pour cette identité.

Soient $m,n$ des entiers tels que $1\leqslant m\leqslant n$ . Calculer chacune des sommes :

$A_{m,n}=\sum_{k=m}^{n}\binom{k}{m}$

$B_{m,n}=\sum_{k=m}^{n}\frac{1}{k}\binom{k}{m}$

$C_{m,n}=\sum_{k=m}^{n}k\binom{k}{m}$

Soient $\alpha,\beta$ deux nombres réels. A toute application $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , on associe l’application $F\left(g\right)$ définie comme suit :

$\forall x\in\mathbb{R},\thinspace\left[F\left(g\right)\right]\left(x\right)=g\left(\alpha x\right)+g\left(\beta x\right)$

On note $F^{n}$ la n-ème itérée de $F$ . On rappelle que, par définition :

$F^{0}=id_{\mathbb{R}^{\mathbb{R}}}\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\,F^{n+1}=F\circ F^{n}$

Trouver une formule pour $\left[F^{n}\left(g\right)\right]\left(x\right)$ .

Montrer que :

$\sum_{p=0}^{n}\sum_{q=0}^{n-p}\binom{n}{p}\binom{n}{q}\binom{n}{p+q}=\binom{3n}{n}$

en donnant à cette formule une interprétation combinatoire.

On pose, pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\left(x\right)_{n}=\left\{\begin{array}{cc}1 & \text{si }n=0\\x\left(x-1\right)\cdots\left(x-n+1\right) & \text{si }n\geqslant1 \end{array}\right.$

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}$ :

$\thinspace\left(x+y\right)_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(x\right)_{k}\left(y\right)_{n-k}$

On pourra procéder par récurrence ou bien appliquer la méthode décrite à la fin de cet article.

Soit $p$ un nombre premier.

Montrer que, pour tout entier $n\geqslant p$ , la valuation p-adique de $\displaystyle{\binom{n}{p}}$ et celle de $\displaystyle{\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor}$ sont égales.

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Étiquettes : coefficients binomiaux, factorielle, identités remarquables, Math-OS, valuation

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