Neuf énoncés d’exercices de calcul intégral (fiche 03) : sommes de Riemann.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
En utilisant des sommes de Riemann, calculer ainsi que
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Calculer
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Calculer
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Trouver un équivalent, lorsque de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Le théorème de convergence des sommes de Riemann a été démontré ici, pour une application supposée continue.
Simplifier (un peu) cette preuve dans le cas où est supposée lipschitzienne.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Soit une application continue. Calculer
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Soit bijective, strictement croissante et de classe
Calculer :
![Rendered by QuickLaTeX.com C^{1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2110cc02aa70ef7f20e4f04df09fda81_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Soit continue, croissante et intégrable. Montrer que :
En déduire le calcul de après avoir justifié la convergence de cette intégrale impropre.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
L’espace est muni de la norme
Pour tout on définit l’application
par :
Montrer que si vérifie
alors
est constante.
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