Exercices de calcul intégral – 03

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Neuf énoncés d’exercices sur les sommes de Riemann.

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exercice 1 facile

En utilisant des sommes de Riemann, calculer \int_{0}^{1}t^{2}\thinspace dt ainsi que \int_{0}^{1}e^{t}\thinspace dt.

exercice 2 facile

Calculer \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}}

exercice 3 facile

Calculer \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\right]^{1/n}}

Trouver un équivalent, lorsque n\rightarrow+\infty, de \displaystyle{S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\sqrt{n+k}}

Le théorème de convergence des sommes de Riemann a été démontré ici, pour une application f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} supposée continue.

Simplifier (un peu) cette preuve dans le cas où f est supposée lipschitzienne.

Soit f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} une application continue. Calculer {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}f\left(\frac{k}{n}\right)}.

Soit f:\left[a,b\right]\rightarrow\left[c,d\right] bijective, strictement croissante et de classe C^{1}. Calculer :

    \[ \int_{a}^{b}\,f\left(t\right)\,dt+\int_{c}^{d}\,f^{-1}\left(t\right)\,dt\]

puis montrer, en utilisant des sommes de Riemann, que l’expression obtenue demeure valable lorsqu’on remplace « de classe C^{1} » par « continue ».

Soit f:\left[0,1\right[\rightarrow\mathbb{R} continue, croissante et intégrable. Montrer que :

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\,\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\,f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}f\left(x\right)\thinspace dx\]

En déduire le calcul de \int_{0}^{\pi/2}\,\ln\left(\sin\left(t\right)\right)\,dt, après avoir justifié la convergence de cette intégrale impropre.

exercice 9 difficile

L’espace E=C^{0}\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}\right) est muni de la norme \left\Vert \:\right\Vert _{\infty}.

Pour tout f\in E, on définit l’application T\left(f\right) par :

    \[\forall x\in\left[0,1\right],\:T\left(f\right)\left(x\right)=f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)\]

Montrer que si f\in E vérifie T\left(f\right)=2f, alors f est constante.

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