![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Pour cet exercice, vous devez savoir (outre l’énoncé du théorème de convergence des sommes de Riemann) comment se calcule explicitement (au besoin, allez jeter un œil à cette vidéo) et savoir reconnaître une somme géométrique.
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
Si l’on met en facteur au dénominateur, une somme de Riemann apparaît.
Cela dit, ce n’est pas la seule façon de traiter cette question…
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
La fonction logarithme a l’heureuse propriété de transformer des produits en sommes 🙂
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
En divisant par avec un exposant
bien choisi, on voit débarquer une somme de Riemann !
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
A part consulter l’article en question, je ne vois pas trop quelle indication donner…
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Et si l’on regroupait les termes deux par deux ?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Dans le cas une IPP s’impose…
Pour le cas continu, considérer la subdivision régulière de définie par
![Rendered by QuickLaTeX.com y_{n,k}=f\left(x_{n,k}\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3feb5cdd507329589f40b53c7da2d81_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[c,d\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb5e811ed0512e7d4bdf0b8c942ddcfe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d43ee783c9dd19196231e380f0830a9f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\rightarrow\infty.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89bd28bef5699b5b25bdf1c45d85e2f6_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Justifier, pour la majoration :
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96ad95c746b4f9879379df16f5f1b064_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9da1f1bf3c18534306c12adb378ad884_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\left\{0,\cdots,n-2\right\} ,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3dee401f17e43e4d7d9920dad6f3e277_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0aa5d14c592914d204e8344d4c1d98e_l3.png)
En déduire que :
Ensuite, il faut minorer la somme, afin de parvenir à un encadrement de celle-ci. En passant à la limite (fingers crossed) ça devrait aboutir.
Et pour la seconde partie de l’exercice, il sera utile de savoir calculer :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303feb9a9f7e31434b11733996f232d3_l3.png)
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
L’hypothèse dit que, pour tout :
Mais, pour les mêmes raisons :
En assemblant tout cela, il vient :
On recommence ? Allez …