icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

Pour cet exercice, vous devez savoir (outre l’énoncé du théorème de convergence des sommes de Riemann) comment se calcule explicitement {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}} (au besoin, allez jeter un œil à cette vidéo) et savoir reconnaître une somme géométrique.

exercice 2 facile

Si l’on met n en facteur au dénominateur, une somme de Riemann apparaît.

Cela dit, ce n’est pas la seule façon de traiter cette question…

exercice 3 facile

La fonction logarithme a l’heureuse propriété de transformer des produits en sommes 🙂

En divisant par n^{\alpha} avec un exposant \alpha bien choisi, on voit débarquer une somme de Riemann !

A part consulter l’article en question, je ne vois pas trop quelle indication donner…

Et si l’on regroupait les termes deux par deux ?

Dans le cas C^{1}, une IPP s’impose…

Pour le cas continu, considérer la subdivision régulière de \left[a,b\right] définie par

    \[ x_{n,k}=a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\qquad\left(0\leqslant k\leqslant n\right)\]

et observer que les y_{n,k}=f\left(x_{n,k}\right) définissent une subdivision de \left[c,d\right] dont le pas tend vers 0 lorsque n\rightarrow\infty.

Justifier, pour t\in\left[\frac{n-1}{n},1\right[, la majoration :

    \[ \left(t-\frac{n-1}{n}\right)\,f\left(\frac{n-1}{n}\right)\leqslant\int_{\frac{n-1}{n}}^{t}\,f\left(x\right)\,dx\]

puis faire tendre t vers 1. Par ailleurs, pour k\in\left\{0,\cdots,n-2\right\} , la croissance de f permet de majorer {\displaystyle \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)} par une intégrale.

En déduire que :

    \[ \frac{1}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\leqslant\int_{0}^{1}\,f\left(x\right)\,dx\]

Ensuite, il faut minorer la somme, afin de parvenir à un encadrement de celle-ci. En passant à la limite (fingers crossed) ça devrait aboutir.

Et pour la seconde partie de l’exercice, il sera utile de savoir calculer :

    \[p_n=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\]

pour tout entier n\geqslant2 (voir, si nécessaire, le dernier exercice de cette fiche).

exercice 9 difficile

L’hypothèse dit que, pour tout x\in\left[0,1\right] :

    \[ f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)\right)\]

Mais, pour les mêmes raisons :

    \[ f\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x}{4}\right)+f\left(\frac{x+2}{4}\right)\right)\]

et

    \[ f\left(\frac{x+1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x+1}{4}\right)+f\left(\frac{x+3}{4}\right)\right)\]

En assemblant tout cela, il vient :

    \[ f\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(f\left(\frac{x}{4}\right)+f\left(\frac{x+1}{4}\right)+f\left(\frac{x+2}{4}\right)+f\left(\frac{x+3}{4}\right)\right)\]

On recommence ? Allez …

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  
Fermer le menu