Indications - Exercices de calcul intégral - 03

Pour cet exercice, vous devez savoir (outre l’énoncé du théorème de convergence des sommes de Riemann) comment se calcule explicitement $\sum_{k=1}^{n}k^{2}$ (au besoin, allez jeter un œil à cette vidéo) et savoir reconnaître une somme géométrique.

Si l’on met $n$ en facteur au dénominateur, une somme de Riemann apparaît.

Cela dit, ce n’est pas la seule façon de traiter cette question…

La fonction logarithme a l’heureuse propriété de transformer des produits en sommes 🙂

En divisant par $n^{\alpha}$ avec un exposant $\alpha$ bien choisi, on voit débarquer une somme de Riemann !

A part consulter l’article en question, je ne vois pas trop quelle indication donner…

Et si l’on regroupait les termes deux par deux ?

Dans le cas $C^{1},$ une IPP s’impose…

Pour le cas continu, considérer la subdivision régulière de $\left[a,b\right]$ définie par

$x_{n,k}=a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\qquad\left(0\leqslant k\leqslant n\right)$

et observer que les $y_{n,k}=f\left(x_{n,k}\right)$ définissent une subdivision de $\left[c,d\right]$ dont le pas tend vers $0$ lorsque $n\rightarrow\infty.$

Justifier, pour $t\in\left[\frac{n-1}{n},1\right[,$ la majoration :

$\left(t-\frac{n-1}{n}\right)\,f\left(\frac{n-1}{n}\right)\leqslant\int_{\frac{n-1}{n}}^{t}\,f\left(x\right)\,dx$

puis faire tendre $t$ vers $1.$ Par ailleurs, pour $k\in\left\{0,\cdots,n-2\right\} ,$ la croissance de $f$ permet de majorer $\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ par une intégrale.

En déduire que :

$\frac{1}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\leqslant\int_{0}^{1}\,f\left(x\right)\,dx$

Ensuite, il faut minorer la somme, afin de parvenir à un encadrement de celle-ci. En passant à la limite (fingers crossed) ça devrait aboutir.

Et pour la seconde partie de l’exercice, il sera utile de savoir calculer :

$p_n=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$

pour tout entier $n\geqslant2$ (voir, si nécessaire, le dernier exercice de cette fiche).

L’hypothèse dit que, pour tout $x\in\left[0,1\right]$ :

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)\right)$

Mais, pour les mêmes raisons :

$f\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x}{4}\right)+f\left(\frac{x+2}{4}\right)\right)$

$f\left(\frac{x+1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x+1}{4}\right)+f\left(\frac{x+3}{4}\right)\right)$

En assemblant tout cela, il vient :

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}\left(f\left(\frac{x}{4}\right)+f\left(\frac{x+1}{4}\right)+f\left(\frac{x+2}{4}\right)+f\left(\frac{x+3}{4}\right)\right)$

On recommence ? Allez …

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