

Posons :
D’une part, avec :
Or lorsque
et donc :
Pour l’égalité on pourra consulter cette vidéo ou du moins ce passage.
D’autre part, avec :
Or, on sait que et donc :

Pour rester dans l’esprit de cette fiche d’exercices, observons que pour tout :
On reconnaît ainsi une somme de Riemann attachée à
Or :
Et par conséquent :
Voici à présent un autre point de vue.
On note, pour tout :
est le
ème nombre harmonique.
Il est classique (voir par exemple ici) que la suite de terme général :

On observe que :
ce qui permet de retrouver la formule encadrée.

Posons
En passant au logarithme, on reconnaît une somme de Riemann :
En intégrant par parties, on obtient :
Or :
Ainsi :
Pour une version plus élaborée de la même question, voir l’exercice n° 8 de cette fiche.

On constate que, pour tout :
Or, en posant il vient :
Ainsi :

Soit une application
lipschitzienne (avec
Notons, pour tout :

D’après la relation de Chasles :
et donc :
Or, pour tout on voit en posant
:
Ainsi :

Posons, pour tout :
Intuitivement, lorsque est grand, deux termes consécutifs de cette somme ont des valeurs absolues très voisines et (le plus souvent) des signes contraires. Ceci laisse penser que :
Pour cela, groupons les termes deux par deux (les deux premiers, les deux suivants, etc … avec un éventuel terme isolé en fin de somme, si est impair).
On obtient ainsi :
Etant donné et vu que
est uniformément continue (d’après le théorème de Heine), il existe
tel que :
Donc, dès que :
Ainsi :
On a montré que :

Transformons l’intégrale en posant
ce qui est licite puisque
est supposée de classe
On obtient :
Une intégration par parties donne ensuite :
Affaiblissons maintenant l’hypothèse en supposant seulement continue.
Pour entiers tels que
et
posons :
On sait que :
Comme est strictement croissante,
est une subdivision de
(c’est-à-dire : une liste strictement croissante dont le premier et le dernier terme sont respectivement
et
).
En outre, comme est uniformément continue, le pas de cette subdivision tend vers 0 :
D’après le théorème de convergence des sommes de Riemann :
Mais, pour tout :
et donc :
En passant à la limite dans cette dernière égalité, on retrouve la formule encadrée plus haut.

Soit Comme
est croissante sur
on a pour tout
:
d’où en faisant et compte tenu de la convergence de l’intégrale impropre
:
(1)
Pour vue la croissance de
sur
:
(2)
D’après (1) et (2), on obtient après sommation :
(3)
De même, pour tout :
(4)
APPLICATION – L’application

![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,\frac{\pi}{2}\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7551e859aa107fd9f7a350e68560b624_l3.png)

Détail (cliquer pour déplier / replier)
La fonction est intégrable sur
et de signe constant (négatif). Or :

![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,\frac{\pi}{2}\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2e89815b45bb5c4919d6c80e42a3a76_l3.png)
décroissante sur
et l’intégrale impropre
converge aussi (poser
pour se ramener à l’intégrale précédente).
En adaptant légèrement le résultat démontré plus haut ( n’est pas monotone, mais ses restrictions aux intervalles
et
le sont), on obtient :
Or, un calcul classique (voir l’exercice 9 de cette fiche) montre que :

Finalement :
Remarque
Ces calculs font aussi l’objet d’une vidéo

Soit telle que
c’est-à-dire :
On déduit de en raisonnant par récurrence que, pour tout
et pour tout
:
Notons le second membre de cette égalité et posons :
On reconnaît une somme de Riemann attachée à et l’on sait que :
Par ailleurs, d’après le théorème de Heine, est uniformément continue.
Etant donné il existe donc
tel que :
Ainsi, dès que :
et donc :
En passant à la limite dans on obtient donc :
Bref, est constante.
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