Exercices de calcul intégral – 02

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Neuf énoncés d’exercices de calcul intégral (fiche 02).

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exercice 1 facile

On pose, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[ I_{n}=\int_{0}^{1}\ln\left(1+t^{n}\right)\thinspace dt\]

Calculer I_{n} pour n\in\left\{0,1,2\right\} .

exercice 2 facile

Calculer, pour tout \lambda\in\mathbb{R} :

    \[ A_{\lambda}=\int_{0}^{\pi}\cos\left(t\right)e^{-\lambda t}\thinspace dt\]

En déduire la valeur de {\displaystyle \lim_{\lambda\rightarrow+\infty}A_{\lambda}} puis retrouver directement ce résultat.

exercice 3 facile

Calculer :

    \[ A=\int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^{3}}\]

On reprend les notations de l’exercice 1. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}}.

On pose, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[ W_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\left(t\right)\thinspace dt\]

et

    \[ J_{n}=\int_{0}^{\pi}t\sin^{n}\left(t\right)\thinspace dt\]

Exprimer J_{n} à l’aide de W_{n}.

Soit f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R} une application continue. Calculer :

    \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f\left(t\right)\thinspace dt\]

Calculer :

    \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\int_{x}^{2x}\frac{\cos\left(t\right)}{t}\thinspace dt\]

Déterminer les applications f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} continues et telles que :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\,f\left(x\right)+\int_{0}^{x}\,\left(x-t\right)\,f\left(t\right)\,dt=1\]

exercice 9 difficile

On reprend les notations des exercices 1 et 4.

Trouver un équivalent de I_{n}, lorsque n\rightarrow\infty.

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