![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
De toute évidence :
Pour
![Rendered by QuickLaTeX.com I_{1},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a2dbd947579dd982de316f530a00326_l3.png)
(noter la petite astuce pour le choix d’une primitive de
![Rendered by QuickLaTeX.com t\mapsto 1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e105aafc60fcdfc95231979cd75586c_l3.png)
Pour
![Rendered by QuickLaTeX.com I_{2},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d075f8a4356d562ac3c02918106bd54c_l3.png)
On obtient ainsi :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
On effectue une première intégration par parties en posant :
ce qui donne :
![Rendered by QuickLaTeX.com A_{\lambda}=A_{\lambda](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddb3f1b0028b078379688372ab79d81a_l3.png)
On pose donc :
de sorte que
et l’on intègre par parties posant :
pour obtenir :
c’est-à-dire :
La combinaison des relations et
donne :
Pour retrouver ceci directement (ie : sans calculer au préalable), il suffit d’observer que :
On voit alors que, pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com \lambda>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62f454ddd5c064b0865ada8b8a45924d_l3.png)
d’où
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\spadesuit\right).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d59b50ab0593f70238d265a2bfa9eea_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Le théorème de décomposition d’une fraction rationnelle à coefficients réels donne, a priori, l’existence d’un unique triplet tel que :
Après réduction au même dénominateur, il vient :
Noter qu’a priori, l’égalité ne vaut que si mais elle est aussi vraie pour
par continuité !
![warning-math-os](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/10/warning-Mathos-187x300.png)
Par identification (même si ce n’est pas la méthode la plus efficace…), on parvient au système :
d’où facilement :
Ainsi, l’intégrale à calculer s’écrit :
Posons temporairement :
et mettons le trinôme au dénominateur sous forme canonique :
Si l’on pose maintenant il vient :
c’est-à-dire :
On voit ainsi que :
c’est-à-dire :
En reportant ceci dans , on conclut que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Comme le suggère l’indication, on va utiliser la majoration classique :
Noter que cette inégalité peut être vue comme une conséquence de la concavité de la fonction logarithme (le graphe de est « en-dessous » de chacune de ses tangentes et, notamment, en-dessous de sa tangente à l’origine, qui a pour équation
Bref, on voit par croissance de l’intégrale que, pour tout :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Effectuons le changement de variable dans l’intégrale qui définit
On obtient :
Mais pour tout
et donc :
c’est-à-dire, en séparant cette dernière intégrale en deux :
ou encore :
Pour finir, on voit avec la relation de Chasles que :
et si l’on pose
![Rendered by QuickLaTeX.com v=\pi-u](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0b19d29cdff34c909fba4b97f5a3de9_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2019/07/sinus-symetrie-pi-sur-2BIS.png)
Finalement :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Montrons que :
ou bien, ce qui revient au même, que :
Pour cela, fixons un réel
![Rendered by QuickLaTeX.com \epsilon>0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73a811e0826833a5e8f2443e8a561d2f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31c74c8e10992ed87d639c104e7d1d80_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \delta>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41b37570ebbb37afeeca331777787074_l3.png)
Il en résulte que pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\left]0,\delta\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea7db1f977d9fd8a62b7156ce6220709_l3.png)
et donc, après division par
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-7-small.png)
On observe que, pour tout :
Montrons donc que :
Pour cela, écrivons la différence de manière plus homogène. En profitant de l’observation ci-dessus, on voit que pour tout :
Voyons deux manières de conclure que cette dernière quantité tend vers lorsque
La première méthode est pragmatique (on va profiter de la forme particulière de l’expression ci-dessus) tandis que la seconde est plus abstraite mais aussi plus générale (elle pourrait s’appliquer, pratiquement sans aucune modification, à une vaste gamme d’exemple similaires).
➢ Méthode 1
On écrit, artificiellement, que pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left|\sin\left(t\right)\right|\leqslant\left|t\right|,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cea1888e24168e475145cb3b07d14f29_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\mathbb{R}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7307df1bb0bc04058798c3d4aaa4a54a_l3.png)
Il en résulte que, pour tout :
➢ Méthode 2
On utilise le :
Lemme
Soient un intervalle et
une application continue et bornée.
Soient un intervalle,
et
deux applications telles que :
On peut retenir ce lemme sous la forme suivante :
Sur un intervalle dont la longueur tend vers 0, l’intégrale d’une quantité bornée tend vers 0.
La preuve est immédiate. Si est un majorant de
pour
alors :
Ce lemme s’applique à l’exemple proposé puisque l’application est prolongeable par continuité en 0 et donc bornée au voisinage à droite de 0.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-8-small.png)
Si est solution de l’équation proposée, la relation :
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com C^{1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2110cc02aa70ef7f20e4f04df09fda81_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-078b8a8ee410e1cf6ae0e784f3daaa3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f'](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b72b457aa9d2ad6b3a012593f24164c1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com C^{1}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82ec072cca5319b5f67b625b1276b1c4_l3.png)
Ainsi est de classe
et :
On sait alors qu’il existe des réels tels que
Réciproquement, il s’agit de savoir quelles sont les fonctions de ce type qui conviennent. On calcule, en intégrant par parties :
La famille étant libre, la condition imposée à
équivaut à
Finalement, la seule solution continue de l’équation proposée est
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
En posant on obtient :
Notons dans la suite :
On observe que :
d’où il résulte que :
Pour finir, on peut exprimer comme la somme d’une série convergente. En effet :
![Rendered by QuickLaTeX.com \star](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dccfc5ed8e988b87729eacb7fa0b9020_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \star\star.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd55e22d7e559d7c13bcdf5c7ce44e71_l3.png)
Pour l’égalité il suffit de prouver que :
Quant à la relation elle découle de la formule classique :
En conclusion :
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.