Challenge 77 : un petit calcul polynomial

Etant donné un entier $n\geqslant2,$ on considère des réels $a_{1},\cdots,a_{n}$ tous distincts et l’on définit une fonction polynôme $P$ en posant :

$\forall t\in\mathbb{R},\thinspace P\left(t\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(t-a_{i}\right)$

Sauriez-vous exprimer, pour tout $j\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket ,$ la somme :

$S_{j}=\sum_{{1\leqslant i\leqslant n\atop i\neq j}}\frac{1}{a_{j}-a_{i}}$

en fonction de $P$ et de $a_{j}$ seulement ?

Une solution est disponible ici

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