Négation, Contraposée, Réciproque

Ce qui suit ne constitue pas un cours de logique formelle, mais plutôt un ensemble de remarques et d’exemples, autour de la notion d’implication en mathématiques.

Le question de savoir comment s’y prendre pour démontrer (en pratique) une implication ne sera pas évoquée ici : elle est en revanche abordée dans cet article.

 

1 – Qu’est-ce qu’une implication ?

 
La pratique des mathématiques nous conduit en permanence à rencontrer des énoncés du type :

“SI … ALORS …”

Par exemple, étant donnés deux nombres réels x et y, positifs ou nuls :

Si x^{2}\leqslant y^{2}, alors x\leqslant y

A priori, l’hypothèse x^{2}\leqslant y^{2} peut être vraie ou fausse : cela dépend bien sûr des valeurs attribuées à x et y. Même chose pour la conclusion x\leqslant y.

Ce qui nous intéresse ici, c’est le fait que chaque fois que l’hypothèse est vraie, il en va de même pour la conclusion.

On exprime cela en disant que, quelles que soient les valeurs (positives ou nulles) de x et de y, l’hypothèse x^{2}\leqslant y^{2} implique la conclusion x\leqslant y.

Tout ceci se note, en symboles :

    \[ \boxed{\forall\left(x,y\right)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\:x^{2}\leqslant y^{2}\Rightarrow x\leqslant y} \]

et se lit :

“pour tout couple \left(x,y\right) de réels positifs ou nuls, si le carré de x est inférieur ou égal à celui de y, alors x est inférieur ou égal à y“.

Le symbole \forall (appelé quantificateur universel) se lit “pour tout …” ou bien “quel que soit …”.

Quant au symbole \Rightarrow (appelé “symbole d’implication”), il exprime un lien logique bien précis : étant données deux phrases mathématiques P et Q, chacune ayant une “valeur de vérité” (Vrai ou Faux) qui peut dépendre d’un ou plusieurs paramètre(s) présent(s) au sein de ces phrases,
l’écriture P\Rightarrow Q signifie que si P est vraie alors Q est aussi vraie.

Ce qui précède suggère l’existence d’un lien de causalité : Q serait conséquence de P.

En fait, il ne s’agit pas de cela. Pour essayer d’y comprendre quelque chose, nous allons employer une petite astuce : passer par la double-négation.

Si quelqu’un prétend qu’une certaine hypothèse P entraîne une certaine conclusion Q et si nous pensons le contraire, nous pourrons exprimer notre désaccord en disant que l’hypothèse P est vraie mais que la conclusion Q est fausse.

Par exemple, je ne suis pas d’accord pour reconnaître que “si le vent souflle à plus de 80 km/h, alors tous les arbres de la forêt seront penchés”. J’exprime ceci en disant : “le vent souffle à plus de 80 km/h, et pourtant l’un au moins des arbres de la forêt n’est pas penché”.

On conçoit ainsi que la négation de P\Rightarrow Q doit être P\text{ et non}\left(Q\right).

Par ailleurs, tout le monde s’accordera pour dire que la négation de la négation d’une phrase P possède la même valeur de vérité que P. On découvre ainsi que P\Rightarrow Q doit être logiquement équivalente à \text{non}\left(P\text{ et non}\left(Q\right)\right), autrement dit à \text{non}\left(P\right)\text{ ou }Q.

Résumons : les écritures

    \[ P\Rightarrow Q \]

et

    \[ \text{non}\left(P\right)\text{ ou }Q} \]

sont interchangeables. Et ainsi, la notion de causalité a complètement disparu !

 

2 – Un truc faux implique n’importe quoi !

 

Une retombée un peu surprenante de ce qui précède apparaît lorsqu’on construit la table de vérité de l’implication. Il s’agit simplement d’un tableau indiquant la valeur de vérité de P\Rightarrow Q (c’est-à-dire de \text{non}\left(P\right)\text{ ou }Q) en fonction de celles de P et de Q :

On s’aperçoit notamment que, dans le cas où P est fausse, l’implication P\Rightarrow Q est vraie… quelle que soit la valeur de vérité de Q.

C’est ainsi qu’étant donné un nombre réel x, l’implication x^{2}<0\Rightarrow x=x+1 est vraie, puisque x^{2}<0 est certainement fausse !

Et puisque ceci est valable pour tout réel x, on peut affirmer que l’assertion :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\:x^{2}<0\Rightarrow x=x+1 \]

est vraie.

Citons, pour terminer cette section, un passage extrait du livre Logique Mathématique, de R. Cori et D. Lascar – Tome 1, p. 32 (Editions Dunod) :

En faisant des raisonnements mathématiques, on a l’impression de n’avoir pratiquement jamais à prendre en considération des situations du type “faux implique faux” ou “faux implique vrai”. Mais cette impression est trompeuse : personne ne contestera, par exemple, que l’énoncé “pour tout entier naturel, n est divisible par 4 implique n est pair” soit vrai. Mais cela a pour inévitable conséquence que les deux énoncés suivants sont vrais : “1 est divisible par 4 implique 1 est pair”, “2 est divisible par 4 implique 2 est pair.

 

3 – Equivalence logique

 

Deux énoncés mathématiques P et Q sont dits logiquement équivalents (ou “équivalents”, pour faire court) lorsque chacun d’eux implique l’autre. On note alors P\Leftrightarrow Q.

Par exemple, on a vu dans la première section que :

    \[ \forall\left(x,y\right)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\:x^{2}\leqslant y^{2}\Rightarrow x\leqslant y \]

En fait, on peut affirmer que :

    \[ \boxed{\forall\left(x,y\right)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\:x^{2}\leqslant y^{2}\Leftrightarrow x\leqslant y} \]

Après avoir établi l’implication de gauche à droite, il reste à prouver que si x,y sont des réels positifs ou nuls tels que x\leqslant y, alors x^{2}\leqslant y^{2}. Et c’est bien le cas puisque : y^{2}-x^{2}=\left(y-x\right)\left(y+x\right)\geqslant0 (produit de deux réels positifs ou nuls).

Au collège puis au lycée, l’une des toutes premières situations où l’on rencontre des équivalences logiques est la résolution d’équations et d’inéquations.

Etant données deux applications f,g définies sur un même ensemble E, résoudre dans E l’équation f\left(x\right)=g\left(x\right) consiste à déterminer l’ensemble S de ses solutions, c’est-à-dire l’ensemble des éléments x de E pour lesquels l’égalité f\left(x\right)=g\left(x\right) est vraie.

Afin de résoudre une équation \left(\mathcal{E}\right), on construit une succession d’équations de telle sorte que :

  • la première d’entre-elles soit l’équation \left(\mathcal{E}\right),
  • toutes ces équations possèdent le même ensemble de solutions,
  • la dernière équation admette un ensemble de solutions facile à déterminer.

Notons \left(\mathcal{E}_{0}\right), \left(\mathcal{E}_{1}\right), …, \left(\mathcal{E}_{r}\right) ces équations, avec \left(\mathcal{E}_{0}\right) qui n’est donc pas autre chose que \left(\mathcal{E}\right).

Notons aussi \mathcal{S}_{i} l’ensemble des solutions de \left(\mathcal{E}_{i}\right).

L’exigence que, pour chaque i\in\left\{ 0,\cdots,r-1\right\} , on ait \mathcal{S}_{i}=\mathcal{S}_{i+1} signifie exactement que, pour chaque tel entier i : \left(\mathcal{E}_{i}\right)\Leftrightarrow\left(\mathcal{E}_{i+1}\right).

Si l’on sait seulement que \left(\mathcal{E}_{i}\right)\Rightarrow\left(\mathcal{E}_{i+1}\right) pour tout i\in\left\{ 0,\cdots,r-1\right\} ; alors \mathcal{S}_{i}\subset\mathcal{S}_{i+1} pour tout i\in\left\{ 0,\cdots,r-1\right\} et par conséquent \mathcal{S}\subset\mathcal{S}_{r}.

Mais cette dernière inclusion n’a aucune raison d’être une égalité. Un chaîne d’inclusion ne suffit donc pas pour déterminer \mathcal{S}.

Par exemple, étant donné x\in\mathbb{R} :

    \[ x^{2}=1\Rightarrow x^{3}-x=0\Rightarrow\left(x^{3}-x-6\right)^{2}=36 \]

mais aucune de ces deux implications n’est une équivalence ! D’ailleurs, les ensembles de solutions des trois équations sont distincts :

  • celui de x^{2}=1 est \mathcal{S}_{1}=\left\{ -1,1\right\} ,
  • celui de x^{3}-x=0 est \mathcal{S}_{2}=\left\{ -1,0,1\right\} ,
  • celui de \left(x^{3}-x-6\right)^{2}=36 est \mathcal{S}_{3}=\left\{ -1,0,1,\alpha\right\} avec \alpha\in\mathbb{R} dont une valeur approchée par défaut à 10^{-3} près est 2,434.

Pire : si \left(\mathcal{E}_{i}\right)\Rightarrow\left(\mathcal{E}_{i+1}\right) pour certains indices i tandis que \left(\mathcal{E}_{i}\right)\Rightarrow\left(\mathcal{E}_{i+1}\right) pour d’autres, on ne sera pas en mesure de comparer les ensembles \mathcal{S} et \mathcal{S}_{r}.

En revanche, si \left(\mathcal{E}_{i}\right)\Leftrightarrow\left(\mathcal{E}_{i+1}\right) pour tout i\in\left\{ 0,\cdots,r-1\right\} , alors \mathcal{S}_{i}=\mathcal{S}_{i+1} pour tout i\in\left\{ 0,\cdots,r-1\right\} et ceci garantit que \mathcal{S}=\mathcal{S}_{r}.

Des remarques analogues s’appliquent à la résolution d’une inéquation.

 

4 – Chaînes d’équivalences

 

Le “squelette” de l’énoncé de certains théorèmes se présente ainsi :

Théorème

Les assertions suivantes sont équivalentes :

  • Assertion A_{1}
  • Assertion A_{2}
  • Assertion A_{n}

Pour établir ce genre de résultat, il serait franchement maladroit de chercher à démontrer les implications du type A_{i}\Rightarrow A_{j} pour tous les couples \left(i,j\right)\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ^{2} vérifiant i\neq j (il existe \frac{n\left(n-1\right)}{2} tels couples).

Il est beaucoup moins “coûteux” de prouver les n implications :

    \[ A_{1}\Rightarrow A_{2},\quad A_{2}\Rightarrow A_{3},\quad\cdots\quad A_{n-1}\Rightarrow A_{n},\quad A_{n}\Rightarrow A_{1} \]

et ceci suffit pour conclure que les n assertions sont mutuellement équivalentes, car la relation d’implication est transitive : si A\Rightarrow B et B\Rightarrow C, alors A\Rightarrow C.

Donnons deux exemples. Le premier exemple est emprunté à l’algèbre linéaire :

Exemple 1 : caractérisation d’une somme directe

On considère un \mathbb{K}-espace vectoriel E et deux sous-espaces A,B de E. On note S=A+B, qui désigne par définition l’ensemble des vecteurs de la forme a+b, avec a\in A et b\in B.

Les trois assertions suivantes sont équivalentes :

  • Tout vecteur de S peut s’écrire d’une seule manière sous la forme a+b avec \left(a,b\right)\in A\times B
  • Pour tout couple \left(a,b\right)\in A\times B, si a+b=0_{E} alors a=0_{E} et b=0_{E}.
  • 0_{E} est le seul vecteur appartenant simultanément à A et à B.

Le second exemple est issu d’un cours sur les espaces vectoriels normés :

Exemple 2 : caractérisation des applications linéaires continues

On considère deux espaces vectoriels normés réels E et F. La norme d’un vecteur x\in E est notée \left\Vert x\right\Vert _{E} et celle d’un vecteur y\in F est notée \left\Vert y\right\Vert _{F}.Etant donnée une application linéaire u:E\rightarrow F, les assertions suivantes sont équivalentes :

  • u est continue
  • u est continue en 0_{E}
  • u est bornée sur la boule unité fermée de E
  • u est bornée sur la sphère unité de E
  • il existe \lambda\in\left[0,+\infty\right[ tel que : \forall x\in E,\thinspace\left\Vert u\left(x\right)\right\Vert _{F}\leqslant\lambda\:\left\Vert x\right\Vert _{E}

Pour le lecteur intéressé, des preuves détaillées de l’équivalence des assertions 1 à 3 de l’exemple 1 et des assertions 1 à 5 de l’exemple 2 sont données en annexe.

 

5 – Négation de P\Rightarrow Q

 

Comme on l’a expliqué, la négation d’une implication P\Rightarrow Q équivaut logiquement à P\text{ et non}\left(Q\right).

Ceci nous indique la marche à suivre pour démontrer par l’absurde qu’une implication est vraie.

Par exemple, tâchons d’établir le résultat énoncé à la première section :

    \[ \forall\left(x,y\right)\in\left[0,+\infty\right[^{2},\:x^{2}\leqslant y^{2}\Rightarrow x\leqslant y\qquad\left(\star\right) \]

Considérons donc deux réels x et y positifs ou nuls et supposons qu’on ait simultanément :

    \[ x^{2}\leqslant y^{2}\qquad\text{et}\qquad x>y \]

Alors d’une part y-x<0 et, d’autre part, y+x>0 (puisque y+x\geqslant x>y\geqslant0); donc \left(y-x\right)\left(y+x\right)>0 c’est-à-dire y^{2}>x^{2}, ce qui est absurde !

L’assertion \left(\star\right) est établie !

Passons à un exemple plus consistant : le théorème de caractérisation séquentielle des fermés de \mathbb{R}.

Avant de l’énoncer, rappelons deux définitions :

Définition 1 – une partie \Omega de \mathbb{R} est un ouvert lorsque pour tout \omega\in\Omega, il existe \epsilon>0 tel que \left]\omega-\epsilon,\omega+\epsilon\right[\subset\Omega.

Définition 2 – Une partie A de \mathbb{R} est un fermé lorsque son complémentaire \mathbb{R}-A est un ouvert.

Théorème – Etant donnée une partie A de \mathbb{R}, les assertions suivantes sont équivalentes :\left(1\right) A est un fermé.

\left(2\right) Pour tout suite convergente à termes dans A, la limite de cette suite appartient à A.

Ce théorème pourrait être énoncé dans un cadre beaucoup plus général (en se plaçant non pas dans \mathbb{R}, mais dans un quelconque espace métrique) et la preuve n’en serait essentiellement pas modifiée.

On démontre chacune des deux implications \left(1\right)\Rightarrow\left(2\right) et \left(2\right)\Rightarrow\left(1\right) en raisonnant par l’absurde.

\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)} Supposons \left(1\right) et \text{non }\left(2\right), c’est-à-dire que A est un fermé et qu’il existe une suite \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} à termes dans A, qui converge vers un réel L\notin A.

Comme \mathbb{R}-A est ouvert, il existe \epsilon>0 tel que \left]L \epsilon,L+\epsilon\right[\subset\mathbb{R}-A; autrement dit : l’intervalle \left]L-\epsilon,L+\epsilon\right[ ne contient aucun élément de A.

Par ailleurs, il existe un entier n_{0} tel que \left|a_{n}-L\right|<\epsilon pour tout entier n\geqslant n_{0}. On voit donc a_{n}\in\left]L-\epsilon,L+\epsilon\right[ dès que n\geqslant n_{0}, ce qui est absurde puisque a_{n}\in A.

\boxed{\left(2\right)\Rightarrow\left(1\right)} Supposons \left(2\right) et \text{non }\left(1\right), c’est-à-dire, d’une part, que la limite de toute suite convergente à termes dans A appartient à A et, d’autre part, que A n’est pas un fermé (ce qui signifie que \mathbb{R}-A n’est pas un ouvert). Il existe alors L\in\mathbb{R}-A tel que pour tout \epsilon>0, on a \left]L-\epsilon,L+\epsilon\right[\cap A=\emptyset.

D’après ce dernier point on peut, pour tout n\in\mathbb{N}, choisir un élément a_{n}\in A tel que \left|a_{n}-L\right|<2^{-n}.

Il est alors clair que la suite \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est à termes dans A et converge vers L. Et comme L n’appartient pas à A, on aboutit à une contradiction !

 

6 – Contraposée de P\Rightarrow Q

 

Imaginons qu’une personne travaillant dans une agence de voyage nous dise, à propos d’un passager :

Si ce passager a pu prendre son vol normalement,
alors son passeport est en règle

Chacun comprendra que cette phrase possède la même signification que :

Si le passeport de ce passager n’est pas en règle,
alors il n’a pas pu prendre son vol normalement

D’une manière générale, une implication P\Rightarrow Q peut être remplacée par sa contraposée, à savoir l’implication \text{non}\left(Q\right)\Rightarrow\text{non}\left(P\right).

Les deux implications sont formellement distinctes mais sont logiquement équivalentes (elles ont la même valeur de vérité).

Attention de ne pas confondre “contraposée” et “négation” : la contraposée d’une implication dit la même chose que l’implication initiale, tandis que la contraposée exprime le contraire !

Exemple 1 : une simple question de parité

Etant donné un entier naturel n, si n^{2} est pair alors n est pair.

Il est facile de prouver l’implication contraposée, à savoir : si n est impair, alors n^{2} est impair.

En effet, un entier impair n peut s’écrire sous la forme n=2k+1, avec k\in\mathbb{N}. On voit alors que

    \[ n^{2}=\left(2k+1\right)^{2}=4k^{2}+4k+1=2\left(2k^{2}+2k\right)+1 \]

ce qui prouve que n^{2} est impair.

Exemple 2 : le théorème de Pythagore

Etant donnés trois points A,B,C non alignés, le théorème de Pythagore stipule que si le triangle \left(A,B,C\right) est rectangle en A, alors AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}. On peut énoncer le même résultat sous forme contraposée, en affirmant que si AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}, alors le triangle \left(A,B,C\right) n’est certainement pas rectangle en A.

Exemple 3 : à propos de l’injectivité

Une application u:E\rightarrow F est dite injective lorsque

    \[ \forall\left(x,x'\right)\in E^{2},\thinspace x\neq x'\Rightarrow u\left(x\right)\neq u\left(x'\right) \]

autrement dit, lorsque deux éléments distincts de son ensemble de départ possèdent nécessairement des images distinctes.

Etablir l’injectivité d’une application en utilisant cette formulation peut être malaisé dans certains cas, car la relation \neq ne possède pas de bonnes propriétés, contrairement à la relation d’égalité !

En effet, l’égalité est transitive : si a=b et b=c, alors a=c. Tandis que 3\neq4 et 4\neq3, mais on ne va tout de même pas en déduire que 3\neq3.

En outre, deux égalités entre nombres réels peuvent être ajoutées membre-à-membre : si a=b et a'=b', alors a+a'=b+b'. Mais 3\neq4 et 1\neq2 et il n’est pas question d’en déduire que 3+1\neq4+2.

Bref, il est généralement (quoique pas toujours…) plus commode de passer par la forme contraposée et donc, d’exprimer l’injectivité de u:E\rightarrow F en écrivant :

    \[ \boxed{\forall\left(x,x'\right)\in E^{2},\:u\left(x\right)=u\left(x'\right)\Rightarrow x=x'} \]

Exemple 4 : une question d’algèbre linéaire

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E.

Si \dim\left(F\right)+\dim\left(G\right)>\dim\left(E\right), alors F\cap G\neq\left\{ 0_{E}\right\} .

On établit la contraposée, c’est-à-dire : si F\cap G=\left\{ 0_{E}\right\} alors \dim\left(F\right)+\dim\left(G\right)\leqslant\dim\left(E\right).

En effet, si F\cap G=\left\{ 0_{E}\right\} , alors la somme F+G est directe et donc :

    \[ \dim\left(F\right)+\dim\left(G\right)=\dim\left(F\oplus G\right)\leqslant\dim\left(E\right) \]

Cela dit, l’utilisation de la contraposée ne constituait pas ici un passage obligé. La formule de Grassmann dit en effet que :

    \[ \dim\left(F+G\right)=\dim\left(F\right)+\dim\left(G\right)-\dim\left(F\cap G\right) \]

or, \dim\left(F\right)+\dim\left(G\right)>\dim\left(E\right) et \dim\left(F\cap G\right)\leqslant\dim\left(E\right); donc \dim\left(F\right)+\dim\left(G\right)>0, ce qui signifie exactement que F\cap G\neq\left\{ 0_{E}\right\} .

 

7 – Réciproque de P\Rightarrow Q

 

Lorsqu’un mathématicien démontre une implication P\Rightarrow Q, il ne peut pas s’empêcher de se demander si l’implication Q\Rightarrow P est aussi vraie .

On dit que Q\Rightarrow P est la réciproque de P\Rightarrow Q.

Certains affirment, à ce sujet (et en ne plaisantant qu’à moitié) que plus une implication est banale et évidente, plus sa réciproque (si toutefois elle est vraie…) est intéressante et peut même, dans certains cas, constituer un résultat profond.

Commençons par un exemple totalement élémentaire.

Exemple 1 : factorisation d’un polynôme dont une racine est connue

Soit P:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} une fonction polynôme et soit \alpha\in\mathbb{R}. S’il existe une fonction polynôme Q telle que \forall x\in\mathbb{R},\:P\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)\thinspace Q\left(x\right), alors P\left(\alpha\right)=0. C’est évident !!

La réciproque est-elle vraie ? Affirmatif !… Si P\left(\alpha\right)=0, alors il existe une fonction polynôme Q telle que \forall x\in\mathbb{R},\:P\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)\thinspace Q\left(x\right).

Autrement dit, il est possible de factoriser P\left(x\right) par \left(x-\alpha\right). Ceci se prouve facilement à l’aide de l’identité {\displaystyle a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b^{n-k}} (voir par exemple cet article) ou bien, si l’on préfère, en effectuant la division euclidienne du polynôme P par le polynôme X-\alpha (le reste est un polynôme constant qui donne 0 lorsqu’on l’évalue en \alpha).

Exemple 2 : le théorème des trois carrés

Il n’est pas très difficile de prouver que si un entier naturel N est la somme de trois carrés parfaits, alors N n’est pas de la forme 4^{p}\left(8q+7\right).

En effet, on sait qu’un carré parfait est congru, modulo 8, à l’un des trois entiers 0, 1 ou 4.

Par conséquent, si l’on ajoute trois carrés parfaits, on obtient un entier congru à :

    \begin{eqnarray*} 0+0+0 & \equiv & 0\pmod{8}\\ 0+0+1 & \equiv & 1\pmod{8}\\ 0+0+4 & \equiv & 4\pmod{8}\\ 0+1+1 & \equiv & 2\pmod{8}\\ 0+1+4 & \equiv & 5\pmod{8}\\ 0+4+4 & \equiv & 0\pmod{8}\\ 1+1+1 & \equiv & 3\pmod{8}\\ 1+1+4 & \equiv & 6\pmod{8}\\ 1+4+4 & \equiv & 1\pmod{8}\\ & \text{ou}\\ 4+4+4 & \equiv & 4\pmod{8} \end{eqnarray*}

On observe donc qu’une somme de trois carrés n’est, en aucun cas, congrue à 7 modulo 8.

On en déduit que si N=x^{2}+y^{2}+z^{2} pouvait s’écrire sous la forme 4^{p}\left(8q+7\right), alors il faudrait que p\geqslant1. Mais on aurait alors N\equiv0\pmod{4}, ce qui imposerait x,y et z tous pairs, d’où la possibilité en divisant par 4, d’écrire :

    \[ 4^{p-1}\left(8q+7\right)=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^{2} \]

En répétant l’argument, on réduirait progressivement l’exposant de 4 sans jamais l’annuler … ce qui est absurde !

Il se trouve que la réciproque est vraie : tout entier naturel qui n’est pas de la forme 4^{p}\left(8q+7\right) peut s’écrire comme la somme de trois carrés parfaits ! Ce résultat, dû à Gauss, constitue le théorème des trois carrés et sa démonstration n’est pas commode.

Exemple 3 : la conjecture de Goldbach forte

Il est évident que si un entier naturel N est la somme de deux nombres premiers impairs, alors N est pair et N\geqslant6. La réciproque de cette implication consiste à dire que tout entier pair, supérieur ou égal à 6 est la somme de deux nombres premiers impairs. Mais cette affirmation constitue à ce jour une redoutable question ouverte (c’est la conjecture de Goldbach “forte” ou “binaire” par contraste avec la conjecture de Goldbach “faible” ou “ternaire”, selon laquelle tout nombre impair N\geqslant7 est la somme de trois nombres premiers, résultat extrêmement difficile, établi en 2013 par le mathématicien péruvien Harald Helfgott).


 

Signalons une curiosité : il arrive parfois qu’on ait à démontrer une équivalence entre deux assertions, mais que la preuve de l’une des deux implications “contienne”, en un sens, celle de sa réciproque. Un exemple de cette situation est apparu dans cet article.

Nous y avons vu qu’étant donnée une application f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R}, si l’on pose g\left(x\right)=x\thinspace f\left(\frac{1}{x}\right) pour tout x>0, alors la convexité de f équivaut à celle de g. Après avoir prouvé que la convexité de f implique celle de g, il ne restait plus grand chose à faire ! En effet, en supposant g convexe et en lui appliquant le même résultat, on constate que l’application h définie par h\left(x\right)=x\thinspace g\left(\frac{1}{x}\right) est convexe. Or, il est clair que h=f.

 

8 – Réciproques partielles

 

Bien entendu, il arrive parfois qu’une implication P\Rightarrow Q soit vraie mais que sa réciproque soit fausse.

On peut alors chercher ce qu’on appelle une “réciproque partielle” :

On remplace Q\Rightarrow P par \left(Q\text{ et }S\right)\Rightarrow P,S désigne une hypothèse supplémentaire convenable, qui vient en quelque sorte renforcer l’hypothèse Q, insuffisante.

Commençons par un exemple très simple.

Exemple 1 : annulation d’une fonction numérique

Etant donnée une application f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, intéressons-nous aux deux assertions :

  • \left(1\right)     \exists b\in\mathbb{R};\:f\left(b\right)=0
  • \left(2\right)     \exists\left(a,c\right)\in\mathbb{R}^{2};\thinspace f\left(a\right)\leqslant0\text{ et }f\left(c\right)\geqslant0

L’implication \left(1\right)\Rightarrow\left(2\right) est évidemment vraie. Mais sa réciproque est fausse, comme on le voit en considérant l’application

    \[ f:x\mapsto\left\{ \begin{array}{cc} -1 & \text{si }x<0\\ 1 & \text{sinon} \end{array}\right. \]

qui vérifie \left(2\right) mais pas \left(1\right).

On obtient une réciproque partielle en ajoutant une hypothèse de continuité. En effet, si f est continue et vérifie \left(2\right), alors de deux choses l’une : ou bien l’une des deux inégalités est une égalité et c’est réglé, ou bien les deux inégalités sont strictes et on peut alors conclure avec le théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple 2 : moyenne de Cesàro

Il est classique que si une suite réelle \left(u_{n}\right)_{n\geqslant1} converge vers une limite L, alors la suite de terme général

    \[ M_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_{k} \]

converge aussi vers L. C’est le célèbre lemme de Cesàro.

La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de la suite définie par :

    \[ \forall n\geqslant1,\:u_{n}=\left(-1\right)^{n} \]

En effet, cette suite diverge mais, pour tout n\geqslant1 :

    \[ M_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}=\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{2n} \]

ce qui prouve la convergence de la suite \left(M_{n}\right)_{n\geqslant1} vers 0.

Une réciproque partielle est obtenue en ajoutant à l’hypothèse de convergence de la suite \left(M_{n}\right)_{n\geqslant1} celle de monotonie de la suite \left(u_{n}\right)_{n\geqslant1}. Montrons cela.

Quitte à remplacer la suite \left(u_{n}\right)_{n\geqslant1} par la suite opposée (de terme général -u_{n}), on peut supposer \left(u_{n}\right)_{n\geqslant1} croissante. On observe alors que, pour tout n\geqslant2 :

    \[ nu_{n}\leqslant\sum_{k=n}^{2n-1}u_{k}=\sum_{k=1}^{2n-1}u_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}u_{k}=\left(2n-1\right)M_{2n-1}-\left(n-1\right)M_{n-1} \]

et donc :

    \[ u_{n}\leqslant\frac{2n-1}{n}M_{2n-1}-\frac{n-1}{n}M_{n-1}\leqslant2\left|M_{2n-1}\right|+\left|M_{n-1}\right| \]

Comme la suite \left(M_{n}\right)_{n\geqslant1} est convergente, elle est en particulier bornée. La suite \left(u_{n}\right)_{n\geqslant1} est donc aussi majorée et, comme elle est croissante, on conclut que
\left(u_{n}\right)_{n\geqslant1} converge. On peut d’ailleurs ajouter que sa limite est nécessairement égale à celle de la suite \left(M_{n}\right)_{n\geqslant1} (en raison du théorème de Cesàro dans le sens direct !… et de la propriété d’unicité de la limite d’une suite convergente).

 

9 – Annexe

 

On détaille ici la preuve de chacune des deux chaînes d’équivalences énoncées à la section 4.

Exemple 1 : caractérisation d’une somme directe

\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)}

Soient x\in A et y\in B tels que x+y=0_{E}. Vue l’hypothèse d’unicité, l’égalité :

    \[ x+y=0_{E}+0_{E} \]

avec \left(x,y\right)\in A\times B et \left(0_{E},0_{E}\right)\in A\times B, impose :

    \[ x=0_{E}\quad\text{et}\quad y=0_{E} \]

\boxed{\left(2\right)\Rightarrow\left(3\right)}

Soit x\in A\cap B. On constate que :

    \[ x+\left(-x\right)=0_{E} \]

avec x\in A et -x\in B, ce qui impose x=0_{E} (et -x\in0_{E} mais bon …).

\boxed{\left(3\right)\Rightarrow\left(1\right)}

Soient x,x'\in A et y,y'\in B tels que :

    \[ x+y=x'+y' \]

Cette relation peut s’écrire :

    \[ x-x'=y'-y \]

Or x-x'\in A et y'-y\in B, donc chaque terme de cette égalité appartient à A\cap B, qui est par hypothèse réduit à \left\{ 0_{E}\right\} . Ainsi :

    \[ x=x'\quad\text{et}\quad y=y' \]

Exemple 2 : caractérisation des applications linéaires continues

\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)}

Cette implication est triviale : la continuité de u entraîne évidemment sa continuité en 0_{E}.

\boxed{\left(2\right)\Rightarrow\left(3\right)}

Il existe par hypothèse \delta>0 tel que, pour tout x\in E :

    \[ \left\Vert x\right\Vert _{E}\leqslant\delta\Rightarrow\left\Vert u\left(x\right)\right\Vert _{F}\leqslant1 \]

Pour tout x\in E tel que \left\Vert x\right\Vert _{E}\leqslant1, vu que \left\Vert \delta x\right\Vert _{E}\leqslant\delta, il vient :

    \[ \left\Vert u\left(\delta x\right)\right\Vert _{F}\leqslant1 \]

c’est-à-dire :

    \[ \left\Vert u\left(x\right)\right\Vert _{F}\leqslant\frac{1}{\delta} \]

On a prouvé que u est bornée sur la boule unité fermée de E.

\boxed{\left(3\right)\Rightarrow\left(4\right)}

Cette implication est triviale puisque la sphère unité de E est incluse dans la bourle unité fermé de E.

\boxed{\left(4\right)\Rightarrow\left(5\right)}

Par hypothèse, il existe \lambda\geqslant0 tel que :

    \[ \forall x\in E,\thinspace\left\Vert x\right\Vert _{E}=1\Rightarrow\left\Vert u\left(x\right)\right\Vert _{F}\leqslant\lambda \]

Soit x\in E-\left\{ 0_{E}\right\} . Alors \frac{1}{\left\Vert x\right\Vert _{E}}x appartient à la sphère unité de E, et donc :

    \[ \left\Vert u\left(\frac{1}{\left\Vert x\right\Vert _{E}}x\right)\right\Vert _{F}\leqslant\lambda \]

c’est-à-dire :

    \[ \left\Vert u\left(x\right)\right\Vert _{F}\leqslant\lambda\left\Vert x\right\Vert _{E} \]

et cette dernière inégalité est encore vraie pour x=0_{E}.

\boxed{\left(5\right)\Rightarrow\left(1\right)}

Comme u est linéaire, l’hypothèse entraîne que u est lipschitzienne. En effet, pour tout \left(x,y\right)\in E^{2} :

    \[ \left\Vert u\left(x\right)-u\left(y\right)\right\Vert _{F}=\left\Vert u\left(x-y\right)\right\Vert _{F}\leqslant\lambda\left\Vert x-y\right\Vert _{E} \]

Et ceci entraîne la continuité de u.


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