Petite histoire du lemme de Cesàro

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:7 août 2022
Post category:Articles Mathématiques / Articles Niveau Supérieur

Cet article est consacré au résultat classique suivant, connu sous le nom de lemme de Cesàro.

Proposition

Soit $\left(x_{n}\right)_{n\geqslant0}$ une suite de nombre réels admettant une limite L, finie ou non.

Pour tout $n\in\mathbb{N},$ on note $M_{n}$ la moyenne des $n+1$ premiers termes, c’est-à-dire :

$M_{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}x_{k}$

Alors la suite $\left(M_{n}\right)_{n\geqslant0}$ admet aussi L pour limite.

Ce résultat est intuitivement simple à comprendre : lorsque $n$ est grand, les termes de la somme sont en majorité très proches de la limite. On s’attend donc à ce que la moyenne soit, elle aussi, proche de cette limite.

Une preuve détaillée (et rigoureuse) est consultable ici.

On peut s’étonner de l’appellation « lemme de Cesàro, » dans la mesure ou Cesàro est né en 1859 alors qu’en 1821, Cauchy mentionne déjà ce résultat dans son cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, sous une forme légèrement différente mais équivalente (qu’on appelle souvent, aujourd’hui, le « lemme de l’escalier »).

Voici l’énoncé en question, sous la plume de Cauchy :

Tâchons d’éclaircir un peu la chronologie des évènements …

1 – Qui a dit quoi avant qui ?

En 1896, Cesàro publie, dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, un article intitulé « Sur la multiplication des séries ». Son principal objectif est d’établir que si deux séries numériques convergent, alors leur produit de Cauchy (voir définition de cette notion un peu plus bas) converge en moyenne vers le produit des sommes.

De façon précise, si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont deux séries réelles convergentes, de sommes respectives $\alpha$ et $\beta,$ alors en posant pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\qquad\text{et}\qquad X_{n}=\sum_{k=0}^{n}c_{k}$

on a l’égalité suivante :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}X_{k}=\alpha\beta$

Pour établir cela, Cesàro commence par citer la proposition encadrée plus haut, en l’attribuant explicitement à Cauchy, puis la généralise sous la forme suivante (dans le cas d’une limite finie) :

Lemme de convolution

Si $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont deux suites réelles convergentes, de limites respectives $\alpha$ et $\beta,$ alors :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k}=\alpha\beta$

Il s’agit bien d’une généralisation, puisqu’en choisissant les $y_{n}$ tous égaux à 1, on retrouve la proposition d’origine.

Ceci explique sans doute (en partie) que la terminologie « lemme de Cesàro » se soit imposée : en effet, on nomme souvent un théorème d’après la personne qui en a fourni l’énoncé le plus général.

Mais il existe une autre raison : la preuve fournie par Cauchy était incorrecte ! En effet, Cauchy s’appuie sur une affirmation préalable, que voici :

En des termes plus actuels :

Affirmation

Si une application $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vérifie la condition

( $1$ ) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x+1\right)-f\left(x\right)\right)=\lambda$

alors

( $2$ ) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lambda$

Or cette affirmation est FAUSSE ! Il aurait suffit de supposer que $f$ est continue pour arranger les choses, mais Cauchy n’a pas fait cette hypothèse. Certes, on peut toujours imaginer que Cauchy ait sous-entendu cette condition de continuité … mais les faits sont têtus : il n’a rien écrit de tel.

Voici d’ailleurs un contre-exemple. Considérons l’application :

$\varphi:\left[0,1\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\frac{1}{1-t}$

et prolongeons-la à $\mathbb{R}$ en posant :

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\varphi\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)$

où le symbole $\left\lfloor x\right\rfloor$ désigne la partie entière du réel $x.$

Comme $f$ est $1-$ périodique, alors $f$ vérifie trivialement la condition $\left(1\right)$ avec $\lambda=0.$

Pourtant, lorsque $x\rightarrow+\infty$ :

$\frac{f\left(x\right)}{x}\not\rightarrow0$

En effet :

$\frac{f\left(n-\frac{1}{n}\right)}{n-\frac{1}{n}}=\frac{\varphi\left(1-\frac{1}{n}\right)}{n-\frac{1}{n}}=\frac{n}{n-\frac{1}{n}}\rightarrow1$

Et donc $f$ ne vérifie pas la condition $(2)$ . D’ailleurs, $\frac{f\left(x\right)}{x}$ n’admet pas limite en $+\infty$ puisque, par ailleurs :

$\frac{f\left(n\right)}{n}=\frac{\varphi\left(0\right)}{n}=\frac{1}{n}\rightarrow0$

A présent, examinons en détail les preuves :

du lemme de convolution,
du théorème relatif au produit de deux séries convergentes.

2 – Un lemme de convolution

C’est donc Cesàro qui a énoncé en 1896 le résultat suivant :

Lemme

Si $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont deux suites réelles convergentes, de limites respectives $\alpha$ et $\beta,$ alors :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k}=\alpha\beta$

Posons, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$z_{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k}$

Il s’agit de montrer que la suite $\left(z_{n}\right)$ converge vers $\alpha\beta.$ Pour cela, on observe que :

$\begin{eqnarray*}z_{n}-\alpha\beta & = & \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left(x_{k}y_{n-k}-\alpha\beta\right)\\& = & \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left[\left(x_{k}-\alpha\right)y_{n-k}+\alpha\left(y_{n-k}-\beta\right)\right]\end{eqnarray*}$

L’intérêt de cet artifice est de faire apparaître des quantités que l’on contrôle bien, à savoir cette différence $x_{k}-\alpha,$ qui est petite lorsque $k$ est grand … et aussi cette différence $y_{n-k}-\beta$ qui est petite lorsque l’indice $n-k$ est grand.

Ensuite, on sépare en deux sommes puis on ré-indexe la seconde, ce qui donne :

$z_{n}-\alpha\beta=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left(x_{k}-\alpha\right)y_{n-k}+\frac{\alpha}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left(y_{k}-\beta\right)$

La suite $\left(y_{n}\right)$ étant convergente, elle est à plus forte raison bornée. Il existe donc un réel $\gamma>0$ tel que :

$\forall k\in\mathbb{N},\thinspace\left|y_{k}\right|\leqslant\gamma$

Il s’ensuit, via l’inégalité triangulaire, que :

$\left|z_{n}-\alpha\beta\right|\leqslant\frac{\left|\gamma\right|}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left|x_{k}-\alpha\right|+\frac{\left|\alpha\right|}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left|y_{k}-\beta\right|$

On peut maintenant conclure. En effet, d’après le lemme de Cesàro, chacune de ces deux moyennes tend vers $0$ lorsque $n\rightarrow\infty$ et par conséquent :

$\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=\alpha\beta$

comme souhaité.

3 – Produit de séries convergentes

Etant données deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n},$ il pourrait sembler naturel de définir leur produit comme étant la série dont le terme général est simplement le produit des termes généraux, c’est-à-dire la série $\sum a_nb_n$ .

Mais cette définition n’aurait guère d’intérêt. En effet, en cas de convergence des deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n},$ non seulement la série $\sum a_{n}b_{n}$ peut très bien diverger (voir plus bas), mais même si elle converge, sa somme est en général distincte du produit des sommes.

Bref, cette définition naïve du produit ne conduit pas à de bonnes propriétés algébriques.

Voici maintenant le bon point de vue :

Définition

Etant données des séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n},$ leur produit de Cauchy est la série de terme général :

$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

Le résultat suivant est fondamental :

Théorème

Si chacune des séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ est absolument convergente, alors c’est aussi le cas de leur produit de Cauchy et :

$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)$

Vous en trouverez une preuve dans cet article sur les séries numériques.

La conclusion est d’ailleurs maintenue sous une hypothèse plus faible, à savoir la convergence absolue de l’une des deux séries et la semi-convergence de l’autre. Ce résultat constitue le théorème de Mertens. Une preuve en est donnée, dans le dernier exercice de cette fiche.

Comme signalé plus haut, il se peut que le produit de Cauchy de deux séries semi-convergentes soit divergent. L’exemple typique est le suivant :

Exemple

On pose $a_{0}=b_{0}=0$ et, pour tout $n\geqslant1$ :

$a_{n}=b_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{\sqrt{n}}$

La série $\sum a_{n}$ converge, d’après le théorème des séries alternées.

Mais on constate que pour tout $n\geqslant2$ :

$c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\left(-1\right)^{n}\:\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k\left(n-k\right)}}$

or :

$k\left(n-k\right)\leqslant\frac{n^{2}}{4}$

et donc :

$\vert c_n\vert\geqslant\frac{2\left(n-1\right)}{n}$

ce qui montre la divergence grossière de la série $\sum c_{n}$ (son terme général ne tend pas vers 0).

Ces rappels étant faits, il est temps de passer au théorème que Cesàro avait en vue dans son article.

4 – Convergence en moyenne d’un produit de séries convergentes

Théorème (Cesàro, 1896)

Etant données deux séries réelles convergentes $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ , de sommes respectives $\alpha$ et $\beta$ , la suite des sommes partielles de leur produit de Cauchy converge, en moyenne de Cesàro, vers $\alpha\beta$ .

Commençons par mettre en place quelques notations. Pour tout $n\in\mathbb{N},$ posons :

$A_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k},\qquad B_{n}=\sum_{k=0}^{n}b_{k}\qquad X_{n}=\sum_{k=0}^{n}c_{k}$

avec, par définition et pour tout $k\in\mathbb{N}$ :

$c_{k}=\sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

En intervertissant les sommes (voir cet article), on observe que :

$\begin{eqnarray*}X_{n} & = & \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\\& = & \sum_{i=0}^{n}\sum_{k=i}^{n}a_{i}b_{k-i}\end{eqnarray*}$

On peut maintenant mettre $a_{i}$ en facteur dans la somme interne, puis ré-indexer celle-ci :

$X_{n}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\sum_{k=0}^{n-i}b_{k}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}B_{n-i}=\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}$

Examinons maintenant une somme partielle. Pour tout entier $N$ :

$\sum_{n=0}^{N}X_{n}=\sum_{n=0}^{N}\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}$

On intervertit à nouveau les sommations :

$\sum_{n=0}^{N}X_{n}=\sum_{i=0}^{N}\sum_{n=i}^{N}a_{n-i}B_{i}$

puis on factorise la somme interne par $B_{i},$ ce qui donne :

$\sum_{n=0}^{N}X_{n}=\sum_{i=0}^{N}A_{n-i}B_{i}$

Il ne reste plus qu’à diviser chaque membre par $n+1,$ pour constater que la moyenne des premiers termes de la suite $X$ s’écrit sous une forme qui permet d’appliquer le lemme de convolution :

$\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^{N}X_{n}=\frac{1}{N+1}\sum_{i=0}^{N}A_{n-i}B_{i}$

On conclut ainsi que :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^{N}X_{n}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)}$}$

Corollaire

Si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont deux séries réelles convergentes dont le produit de Cauchy $\sum c_n$ est aussi convergent, alors :

$\sum_{n=0}^\infty c_n=\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\,\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$

En effet, en notant $(X_n)$ la suite des sommes partielles du produit de Cauchy, comme cette suite converge vers un certain réel $\gamma$ , alors (lemme de Cesàro) :

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nX_k=\gamma$

Mais par ailleurs :

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nX_k=\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\,\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$

d’où la conclusion par unicité de la limite.

Pour consulter en ligne le cours de Cauchy de 1821, c’est ici.

Vos questions ou remarques sont les bienvenues. Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact.

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Cet article a 9 commentaires

Oncle Junior 11 Août 2022 Répondre

Ça fonctionne avec le mode horizontal d’un téléphone !
En lisant l’article c’est naturel, car cela permet de lire la partie de l’équation hors champ alors que l’on voit la partie dans le champ. Mais pour les commentaires c’est moins évident d’y penser, car le caractère mathématique que l’on suppose bien présent dans le champ n’est pas visible, mais en effet il apparaît en passant à l’horizontal 😊

Je reviens donc à votre réponse. C’est noté pour votre exemple réel qui achève de montrer que la convergence au sens de Cesàro est plus faible que la convergence au sens usuel. C’est également noté pour la preuve de Cesàro complexe dans le cas infini ie sur une demi droite partant de l’origine. Bien qu’il découle immédiatement du cas infini réel, je trouve dommage que ce dernier cas soit (presque?) jamais mentionné !

Bien à vous
Oncle Junior 10 Août 2022 Répondre

J’ai pensé aussi que cela pouvait provenir du fait que je consulte sur iPhone ! Avec safari / Google / Firefox j’ai le même problème d’affichage dans les commentaires (pas dans l’article!).

A mon retour de vacances je relis l’ensemble de vos réponses sur PC androïd. Merci pour vos réponses 😊
1. René Adad 10 Août 2022 Répondre
  
  Est-ce que ce problème disparaît en positionnant l’écran de votre iPhone en mode horizontal ?
Oncle Junior 10 Août 2022 Répondre

Dans mon message initial ce n’était pas très beau mais c’était lisible tout en texte 😊
Avec l’ajout de latex certaines parties ne sont désormais plus lisibles !

Mais ce n’était pas mon propos lors de mon deuxième message, je me suis mal exprimé, c’était dans votre réponse que je voulais pointer des parties non visibles, comme tout à la fin par exemple « il suffit d’appliquer … à la suite de terme général… » et le terme général voulu est absent !

Bien à vous
1. René Adad 10 Août 2022 Répondre
  
  Et maintenant ? J’ai rajouté quelques balises LaTeX à votre précédent message. C’est comme cela qu’il faut procéder pour inclure des formules mathématiques en commentaire.
Oncle Junior 10 Août 2022 Répondre

Les caractères mathématiques ne sont pas passés !
Vous pouvez effacer mon commentaire présent 😊 si vous refaites passer le votre.
Bien à vous
1. René Adad 10 Août 2022 Répondre
  
  Ok, je comprends. J’ai fait des tests sur d’autres machines et il semble que tout soit OK au niveau de l’affichage. Je pense que le souci doit provenir de votre browser : à l’occasion, pourriez-vous essayer d’en changer et de voir ce que ça donne ?
Oncle Junior 10 Août 2022 Répondre

Bonjour Monsieur,

Merci pour cet article agrémenté de remarques éclairantes (je pense notamment à l’intuition sous-jacente au lemme de Cesàro, ou à l’intérêt de considérer le produit de Cauchy au lieu de la série de terme général égal au produit des termes généraux des deux séries mères).

Si vous le voulez bien j’ai quelques remarques et interrogations :

1) Sauf erreur de ma part, à la fin de l’exemple de la partie 3, la dernière minoration concerne la valeur absolue de $c_n$ au lieu de $c_n$ ?

2) Le lemme de convolution, tel qu’énoncé dans la partie 1 puis démontré dans la partie 2, est une généralisation du lemme de Cesàro restreint au cas de la limite finie. On pourrait donc parler dans la partie 1 de généralisation partielle lorsque vous montrez qu’il s’agit d’une généralisation ?
Cela m’interroge sur l’existence d’une généralisation « totale »? Peut-être en évitant soigneusement les cas $\alpha=0$ et $\beta=\pm\infty$ et en évitant également $\beta=0$ et $\alpha=\pm\infty$ puis en posant les conventions habituelles du type $3\times\infty = \infty$ , $(-\infty)\times\infty=-\infty$ etc …?

3) Si l’on revient au lemme de Cesàro, le cas réel de la limite finie se généralise sans peine au cas complexe, avec donc toujours une limite finie. Mais à votre connaissance, qu’en est-il du cas
« infini complexe » ? Par exemple dans le cas d’une suite complexe qui « diverge » selon une demi droite en s’éloignant toujours plus de l’origine, sa moyenne de Cesàro aurait-elle un comportement similaire ?

Je comprendrais tout à fait que vous n’ayez pas le temps de répondre, ou que vos réponses soient très brèves !
1. René Adad 10 Août 2022 Répondre
  
  Bonjour et merci pour ces commentaires pertinents.
  Pour le 1er point, il s’agissait bien d’une coquille : j’ai donc rajouté la valeur absolue manquante.
  Pour le 2nd point, on pourrait effectivement chercher à formuler le lemme de convolution dans le cas ou l’une au moins des deux suites diverge vers $\pm\infty$ , mais restons simples 🙂 Je me limiterai (jeu de mots …) au cas de deux suites convergentes et il s’agit donc bien d’une généralisation partielle, comme vous l’avez mentionné.
  Enfin, pour le 3ème point, dans le cas d’une suite complexe qui diverge en module vers l’infini, la suite des moyennes peut parfaitement converger; cela se voit déjà dans le champ réel en considérant $x_n=(-1)^n\sqrt n$ , par exemple (je vous laisse le soin de vérifier que la suite des moyennes converge vers 0). Pour finir, si $(z_n)$ est une suite complexe qui diverge en module vers l’infini mais dont les termes sont tous portés par une demi-droite d’origine 0, alors la suite des moyennes diverge effectivement vers ce qu’on pourrait noter $\infty e^{i\theta}$ où $\theta$ désigne un argument pour cette demi-droite. Pour le démontrer, il suffit d’appliquer le lemme de Cesàro réel à la suite de terme général $e^{-i\theta}z_n$ .
  J’espère avoir répondu à vos questions.
  Bien cordialement, R. Adad