

Pour le cas on pourra s’inspirer de ceci
Pour le cas on pourra s’inspirer de ceci

La réponse est non dans les deux cas.
Pour le problème se situe en
alors que pour
il se situe en

Pour la somme, pas de souci (on peut se débrouiller facilement avec l’inégalité triangulaire).
Pour le produit, et sans hypothèses supplémentaires sur et
c’est faux : penser à
qui n’est pas UC mais qui est certainement le produit de deux applications UC !
Pour le produit de deux applications UC et bornées, on pourra s’inspirer de la preuve classique du fait que si deux suites réelles convergent, alors leur produit converge vers le produit des limites.

On se donne et l’on veut montrer qu’il existe
tel que, pour tout
:
On peut écrire, artificiellement, pour tout et pour tout
:
Ensuite, c’est à vous 🙂

Se ramener à un segment et invoquer le théorème de Heine.
Attention : si est une période de
il est judicieux de considérer un segment de longueur

Si l’on montre que est prolongeable en une application continue sur
il en résultera que
est bornée (pourquoi ?).
Penser à utiliser le critère de Cauchy.

Ca ressemble quand même beaucoup à une somme de Riemann, cette histoire !
Si besoin, consulter d’abord ceci.

Pour la question 1°, raisonner par l’absurde.
Pour la question 2°, essayer de construire continue, positive et telle que :

Pour la question 3°, raisonner par l’absurde : si n’admet pas
pour limite en
alors il existe
et une suite croissante
telle que
et
Et donc …

Intuitivement, lorsque est assez grand, la fonction
n’a « pas le temps » de changer de signe sur la plupart des segments
L’intégrale
est donc « le plus souvent » égale à
Ceci suggère de montrer (rigoureusement !) que :