Indications pour démarrer les exercices sur les suites numériques (fiche 03).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Cette suite est définie par itération de Calculer
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
La suite est croissante (d’évidence,
pour tout
. Il est n’est pas difficile de prouver qu’elle est aussi majorée.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Comme pour tout
, on peut poser
.
Quelle relation de récurrence la suite vérifie-t-elle ?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Faire un dessin pour comprendre où se promène … L’étude des variations d’une fonction bien choisie permettra ensuite de prouver, pour chaque entier
l’existence et l’unicité d’une solution
dans l’intervalle
pour cette équation.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Vous avez sans doute entendu parler de la conjecture de Collatz, aussi connue sous le nom de problème de Syracuse. L’énoncé de cette question lui ressemble furieusement …
Mais le problème de Syracuse reste à ce jour énigmatique, alors que cet exercice est parfaitement faisable !
Cette suite est construite en itérant à partir de s l’application :
Que se passe-t-il si ? Si
?
Prouver qu’en itérant à partir de n’importe quel entier , on finit par tomber sur 1 ou 5.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-6-small.png)
Plan de bataille proposé : trouver une suite assez simple, telle que
soit du même signe que
puis calculer le signe de
On pourra commencer par exprimer à l’aide de
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
Les racines èmes de l’unité sont les
pour
Par conséquent :
- Comment calcule-t-on
pour
?
- Si
est continue, quel scénario l’expression
évoque-t-elle ?
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
Etant donnée une suite réelle bornée , notons pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com X_{n+1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c92351e013eeef530576081aca2228f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com X_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a3bc7dafde89cb77a1a40b6376c51aa_l3.png)
Que peut-on en déduire pour la suite
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\omega_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8992264cf8ddf000f01bfb1fc94a30d5_l3.png)
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
La convergence d’une suite et celle de la série
associée sont deux questions équivalentes.