Indications pour démarrer les exercices sur les suites numériques (fiche 03).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

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exercice 1 facile

Cette suite est définie par itération de f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right],\thinspace t\mapsto\sqrt{1-t^{2}}. Calculer f\circ f.

exercice 2 facile

La suite S est croissante (d’évidence, S_{n+1}-S_{n}\geqslant0 pour tout n\in\mathbb{N}). Il est n’est pas difficile de prouver qu’elle est aussi majorée.

Comme x_{n}>0 pour tout n\in\mathbb{N}, on peut poser y_{n}=\ln\left(x_{n}\right).

Quelle relation de récurrence la suite \left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} vérifie-t-elle ?

Faire un dessin pour comprendre où se promène x_{n} … L’étude des variations d’une fonction bien choisie permettra ensuite de prouver, pour chaque entier n\geqslant2, l’existence et l’unicité d’une solution x_{n} dans l’intervalle \left]0,\pi\right[, pour cette équation.

Vous avez sans doute entendu parler de la conjecture de Collatz, aussi connue sous le nom de problème de Syracuse. L’énoncé de cette question lui ressemble furieusement …

Mais le problème de Syracuse reste à ce jour énigmatique, alors que cet exercice est parfaitement faisable !

Cette suite est construite en itérant à partir de s l’application :

    \[f:\mathbb{N}^\star\to\mathbb{N}^\star,n\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{n}{2} & \text{si }n\text{ est pair}\\n+5 & \text{sinon}\end{matrix}\right.\]

Que se passe-t-il si s=1 ? Si s=5 ?

Prouver qu’en itérant à partir de n’importe quel entier s\geqslant1, on finit par tomber sur 1 ou 5.

Plan de bataille proposé : trouver une suite \left(T_{n}\right) assez simple, telle que T_{n} soit du même signe que S_{n}-S_{n+1}, puis calculer le signe de T_{n}-T_{n+1}.

On pourra commencer par exprimer S_{n}-S_{n+1} à l’aide de {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}.}

Les racines n-èmes de l’unité sont les e^{2ik\pi/n} pour 0\leqslant k\leqslant n-1. Par conséquent :

    \[D_{n}=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}\left|1-e^{2ik\pi/n}\right|\]

Deux remarques :

  • Comment calcule-t-on \left|1-e^{i\theta}\right| pour \theta\in\left]0,2\pi\right[ ?
  • Si f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} est continue, quel scénario l’expression {\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)} évoque-t-elle ?

Etant donnée une suite réelle bornée \left(x_k\right)_{k\geqslant0}, notons pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[X_{n}=\left\{ x_{k};\thinspace k\geqslant n\right\}\]

Quelle relation existe-t-il entre les ensembles X_{n+1} et X_{n} ?
Que peut-on en déduire pour la suite \left(\omega_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} ?

exercice 9 difficile

La convergence d’une suite \left(z_{n}\right)_{n\geqslant0} et celle de la série {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}\left(z_{n}-z_{n+1}\right)} associée sont deux questions équivalentes.

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