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exercice 1 facile

Distinguer deux cas selon la parité de n.

exercice 2 facile

On peut commencer par dénombrer les entiers de \left\{0,\cdots,b\right\} qui sont multiples de q.

Ce sont les kq pour entier naturel k inférieur ou égal à … à quoi, au fait ?

exercice 3 facile

Comparer, pour tout x\in\mathbb{R}, les nombres \left\lfloor x+1\right\rfloor et \left\lfloor x\right\rfloor +1. En déduire la périodicité de la fonction “partie fractionnaire”. Après cela, il ne devrait pas rester grand chose à faire…

Rappel : l’encadrement t-1<\left\lfloor t\right\rfloor \leqslant t est valable pour tout réel t.

En encadrant \left\lfloor kx\right\rfloor pour chaque k\in\left\{1,\cdots,n\right\}, on parvient à un encadrement de la somme.

En pensant à une identité remarquable, on peut coincer (strictement) 2\sqrt{n^{2}+n+1} entre deux entiers consécutifs.

Avant toutes choses, il faut bien sûr avoir les idées claires sur la fonction arctangente. Rappelons que, pour tout t\in\mathbb{R}, on note \arctan\left(t\right) l’unique réel \theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ vérifiant \tan\left(\theta\right)=t.

Il en résulte que \arctan\left(\tan\left(x\right)\right)=x pour tout x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[. Et si x n’appartient pas à cet intervalle… (mais appartient tout de même à D) ? Il faut tâcher de s’y ramener et le plus simple consiste à lui retrancher un multiple convenable de \pi.

Comparer, cela signifie bien sûr : déterminer lequel des deux est plus grand que l’autre … à moins qu’ils ne soient égaux ? Une piste pour démarrer : par définition de la partie entière, on a déjà \left\lfloor x\right\rfloor \leqslant x, or la fonction racine carrée est croissante … je vous laisse poursuivre …

Il n’est pas très difficile de prouver que si f est à valeurs dans \left[0,1\right[, alors c’est l’application nulle.

Et sinon… ? Eh bien, sinon, c’est à vous !

exercice 9 difficile

Posons, pour tout x>0 :

    \[F\left(x\right)=\int_{x}^{1}\left(\frac{1}{t}-\left\lfloor \frac{1}{t}\right\rfloor \right)\thinspace dt\]

Pour la première question, il faut montrer que F admet en 0 une limite finie et la calculer.

Je vous suggère d’expliciter F\left(\frac{1}{n}\right) sans utiliser de parties entières, puis de calculer {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}F\left(\frac{1}{n}\right).}

Pour la deuxième question, on pourra s’appuyer sur l’exercice n° 8 de cette fiche.


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