Indications - Exercices sur la partie entière - 01

Distinguer deux cas selon la parité de $n.$

On peut commencer par dénombrer les entiers de $\left\{0,\cdots,b\right\}$ qui sont multiples de $q.$

Ce sont les $kq$ pour entier naturel $k$ inférieur ou égal à … à quoi, au fait ?

Comparer, pour tout $x\in\mathbb{R},$ les nombres $\left\lfloor x+1\right\rfloor$ et $\left\lfloor x\right\rfloor +1.$ En déduire la périodicité de la fonction « partie fractionnaire ». Après cela, il ne devrait pas rester grand chose à faire…

Rappel : l’encadrement $t-1<\left\lfloor t\right\rfloor \leqslant t$ est valable pour tout réel $t.$

En encadrant $\left\lfloor kx\right\rfloor$ pour chaque $k\in\left\{1,\cdots,n\right\},$ on parvient à un encadrement de la somme.

En pensant à une identité remarquable, on peut coincer (strictement) $2\sqrt{n^{2}+n+1}$ entre deux entiers consécutifs.

Avant toutes choses, il faut bien sûr avoir les idées claires sur la fonction arctangente. Rappelons que, pour tout $t\in\mathbb{R},$ on note $\arctan\left(t\right)$ l’unique réel $\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ vérifiant $\tan\left(\theta\right)=t.$

Il en résulte que $\arctan\left(\tan\left(x\right)\right)=x$ pour tout $x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[.$ Et si $x$ n’appartient pas à cet intervalle… (mais appartient tout de même à $D)$ ? Il faut tâcher de s’y ramener et le plus simple consiste à lui retrancher un multiple convenable de $\pi.$

Comparer, cela signifie bien sûr : déterminer lequel des deux est plus grand que l’autre … à moins qu’ils ne soient égaux ? Une piste pour démarrer : par définition de la partie entière, on a déjà $\left\lfloor x\right\rfloor \leqslant x,$ or la fonction racine carrée est croissante … je vous laisse poursuivre …

Il n’est pas très difficile de prouver que si $f$ est à valeurs dans $\left[0,1\right[,$ alors c’est l’application nulle.

Et sinon… ? Eh bien, sinon, c’est à vous !

Posons, pour tout $x>0$ :

$F\left(x\right)=\int_{x}^{1}\left(\frac{1}{t}-\left\lfloor \frac{1}{t}\right\rfloor \right)\thinspace dt$

Pour la première question, il faut montrer que $F$ admet en 0 une limite finie et la calculer.

Je vous suggère d’expliciter $F\left(\frac{1}{n}\right)$ sans utiliser de parties entières, puis de calculer $\lim_{n\rightarrow\infty}F\left(\frac{1}{n}\right).$

Pour la deuxième question, on pourra s’appuyer sur l’exercice n° 8 de cette fiche.

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