Soit Si est pair alors, en posant :
et si est impair, alors en posant :
On conclut que :
Les multiples de sont les nombres de la forme , avec entier.
La condition [ compris entre et ] équivaut à :
ou encore à :
Il en résulte que le nombre de valeurs possibles pour (et donc pour est :
Exemple
Le nombre de multiples de 7 compris (au sens large) entre et est :
Ces entiers sont ceux de la forme pour à savoir :
238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294, 301, 308, 315, 322.
On commence par observer que, pour tout :
Pour une preuve de ceci, voir ce passage de la vidéo fiche technique : la fonction partie entière.
Il en résulte que la fonction partie fractionnaire est 1-périodique. En effet, pour tout :
Par conséquent, si l’on pose alors :
et donc
On a prouvé que est 2-périodique.
Etant donné posons pour tout :
Il suffit d’encadrer :
puis de sommer, pour obtenir :
c’est-à-dire :
Avec le théorème d’encadrement (alias théorème des gendarmes) , on conclut que :
On observe que, pour tout :
c’est-à-dire
Par stricte croissance de la racine carrée, il en résulte que :
et donc :
Finalement, l’entier est impair.
Rappelons tout d’abord que l’ensemble de définition de la fonction tangente est :
c’est-à-dire :
Soit et soit l’unique entier vérifiant :
Cet encadrement équivaut à :
ce qui montre que
Par ailleurs, les applications :
et
sont bijections réciproques l’une de l’autre (par définition de l’arctangente !); donc :
Il reste à mettre tout ceci bout à bout. Pour on notant l’entier défini par :
la première égalité résultant de la périodicité de et la seconde de la relation
Finalement :
Soit un réel positif ou nul.
- Vu que la croissance de donne Puis, comme est aussi croissante :
- Comme alors puis comme est un entier, on voit que Ainsi et comme est un entier, alors
De tout cela, on conclut que :
Soit telle que :
▷ Supposons que soit à valeurs dans Alors En particulier pour et donc est l’application nulle.
▷ Supposons maintenant et fixons un tel . Comme :
ce qui montre que la restriction de à chaque intervalle du type (avec est constante. Notons cette constante. En choisissant et dans :
En particulier :
Donc
- Si alors donne donc est constante et cette constante appartient à
- Et si alors en prenant et il vient puis en prenant et il vient Dans ce cas,
Réciproquement, les fonctions constantes
conviennent toutes. Ce sont les solutions cherchées.
Considérons l’application
Ses restrictions aux segements de la forme avec sont continues par morceaux.
Il s’agit de montrer que l’intégrale partielle admet une limite finie lorsque tend vers par valeurs supérieures, et de calculer cette limite.
Posons, dans un premier temps :
Alors :
donc, après sommation télescopique et ré-indexation :
Ainsi :
où désigne la constante d’Euler.
Revenons à présent à l’intégrale partielle. Pour tout posons
Comme est majorée par 1 :
et donc
En définitive, l’intégrale proposée converge et
Comme il vient :
On reconnaît une somme de Riemann attachée à l’intégrale précédente.
D’après le théorème de convergence des sommes de Riemann pour les intégrales impropres (voir l’exercice n° 8 de cette fiche) :
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