Indications pour démarrer les exercices sur les nombres premiers (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

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exercice 1 facile

Penser à l’identité remarquable a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

exercice 2 facile

Montrer par l’absurde qu’un tel entier n ne peut pas :

  • posséder trois facteurs premiers distincts
  • être de la forme p^{\alpha}q^{\beta} avec p,q premiers distincts, \alpha,\beta\in\mathbb{N}^{\star} et \alpha+\beta\geqslant3
  • être de la forme p^{\alpha} avec p\in\mathbb{P} et \alpha\geqslant3
exercice 3 facile

Commencer par écrire une fonction qui calcule le plus petit facteur premier d’un entier n\geqslant2. Utiliser la méthode décrite dans cet article.

Réduire 2^{2^{n}} modulo 3.

Utiliser l’exercice 8 de la fiche n° 1 sur les nombres premiers.

Examiner les facteurs premiers de l’entier :

    \[A=\left(\prod_{i=1}^{r}p_{i}\right)-1\]

Penser au petit théorème de Fermat.

Voir que 2, 3 et 6 sont premiers avec p si p\in\mathbb{P}-\left\{ 2,3\right\}.

Appliquer la formule de Legendre puis procéder par encadrement.

exercice 9 difficile

Il est utile de savoir que tout nombre parfait pair est un nombre d’Euclide , c’est-à-dire de la forme 2^{p-1}\left(2^{p}-1\right) avec

    \[p\in\mathbb{P}\qquad\text{et}\qquad2^{p}-1\in\mathbb{P}\]

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