Exercices sur les nombres premiers – 02

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Neuf énoncés d’exercices sur la notion de nombre premier (fiche 02) …

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exercice 1 facile

Décomposer 2^{18}+1 en produit de facteurs premiers.

Essayer de ne pas utiliser de calculette 😜

exercice 2 facile

Soit n\geqslant2 un entier. On suppose que n n’est divisible par aucun entier d tel que 1<d\leqslant\sqrt[3]{n}.

Montrer que n est soit premier soit le produit de deux nombres premiers.

exercice 3 facile

Ecrire en Python une fonction qui renvoie la liste croissante (au sens large) des facteurs premiers d’un entier n\geqslant2.

Existe-t-il des entiers naturels n pour lesquels 2^{2^{n}}+5 est un nombre premier ?

Montrer que si p est un nombre premier et si 0\leqslant k\leqslant p-1, alors :

    \[\binom{p-1}{k}\equiv\left(-1\right)^{k}\pmod{p}\]

On note p_{i} le i-ème nombre premier, pour tout i\in\mathbb{N}^{\star}.

Montrer que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[p_{n+1}<\prod_{i=1}^{n}p_{i}\]

Montrer que pour tout p\in\mathbb{P}, il existe n\in\mathbb{N} tel que 2^{n}+3^{n}+6^{n}-1 soit multiple de p.

Soit p\in\mathbb{P}. Trouver un équivalent simple de v_{p}\left(n!\right) lorsque n\rightarrow+\infty.

On rappelle que, pour tout entier N>1, on note v_p\left(N\right) la valuation p-adique de N, c’est-à-dire l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de N.

exercice 9 difficile

Montrer qu’un nombre parfait pair, autre que 6, est congru à 1 modulo 9.

Si vous ne savez pas bien ce qu’est un nombre parfait, allez faire un petit tour par ici.

Cliquer ici pour accéder aux indications

Cliquer ici pour accéder aux solutions

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