Indications - Exercices calcul de dérivées - 01

Indications pour démarrer les exercices sur la dérivation des fonctions numériques (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

Pas d’indications pour cet exercice : il suffit d’appliquer les règles de calculs présentées en détail dans la vidéo calcul de dérivées – 01

Idem !

Il suffit de calculer la dérivée de cette fonction et de déterminer son signe. Le calcul ne présente aucune difficulté : on doit constater que $F'\left(x\right)$ est du signe de $x^{2}-2x-1.$

L’expression $\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$ est « quasiment » de la forme $-\frac{u'}{u^{2}}$ .

Pour $n=2,$ c’est un résultat connu, ce qui amorce une démonstration par récurrence.

On raisonne par récurrence. En supposant la formule annoncée vraie au rang $n,$ on passe au calcul de la dérivée de $u^{n+1},$ en observant que $u^{n+1}$ peut s’écrire comme le produit de deux fonctions…

Appliquer la formule établie à l’exercice précédent !

On sait bien à quoi ressemble la dérivée du produit de deux fonctions. Regarder ce qui se passe pour trois fonctions… conjecturer… puis démontrer par récurrence. Pour l’hérédité, penser à écrire le produit de $n+1$ fonctions comme un produit de deux fonctions.

Si l’on pose, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$P\left(x\right)=x^{3}+x^{2}+x-1$

il suffit de montrer que l’équation $P\left(x\right)=0$ possède une unique solution $\alpha$ , puis que :

$\alpha^{2}+\frac{1}{\alpha^{2}}<4$

mais attention : sans passer par un calcul approché de $\alpha$ .

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