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exercice 1 facile

Pas d’indications pour cet exercice : il suffit d’appliquer les règles de calculs présentées en détail dans la vidéo calcul de dérivées – 01

exercice 2 facile

Idem !

exercice 3 facile

Il suffit de calculer la dérivée de cette fonction et de déterminer son signe. Le calcul ne présente aucune difficulté : on doit constater que F'\left(x\right) est du signe de x^{2}-2x-1.

L’expression \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} est « quasiment » de la forme -\frac{u'}{u^{2}}.

Pour n=2, c’est un résultat connu, ce qui amorce une démonstration par récurrence.

On raisonne par récurrence. En supposant la formule annoncée vraie au rang n, on passe au calcul de la dérivée de u^{n+1}, en observant que u^{n+1} peut s’écrire comme le produit de deux fonctions…

Appliquer la formule établie à l’exercice précédent !

On sait bien à quoi ressemble la dérivée du produit de deux fonctions. Regarder ce qui se passe pour trois fonctions… conjecturer… puis démontrer par récurrence. Pour l’hérédité, penser à écrire le produit de n+1 fonctions comme un produit de deux fonctions.

exercice 9 difficile

Si l’on pose, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[P\left(x\right)=x^{3}+x^{2}+x-1\]

il suffit de montrer que l’équation P\left(x\right)=0 possède une unique solution \alpha, puis que :

    \[\alpha^{2}+\frac{1}{\alpha^{2}}<4\]


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