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Attention :

Pour le moment, seul l’exercice 2 (qui est proposé dans la vidéo calcul de dérivées – 01) est corrigé. Les corrections des autres exercices seront mises en ligne ultérieurement.

 

exercice 2 facile

→ Pour la fonction a, vous avez le choix entre deux options. Le plus simple, c’est de développer, ce qui donne :

    \[ a\left(x\right)=x^{7}-x^{14} \]

puis on dérive pour obtenir :

    \[ a'\left(x\right)=\boxed{7x^{6}-14x^{13}} \]

On peut aussi considérer que a=uv, avec pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ u\left(x\right)=x^{7}\qquad\text{et}\qquad v\left(x\right)=1-x^{7} \]

d’où :

    \[ u'\left(x\right)=7x^{6}\qquad\text{et}\qquad v'\left(x\right)=-7x^{6} \]

En appliquant la formule de dérivation d’un produit, on trouve donc :

    \[ a'\left(x\right)=u'\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v'\left(x\right)=7x^{6}\left(1-x^{7}\right)+x^{7}\left(-7x^{6}\right)=7x^{6}-14x^{13} \]

conformément au premier calcul.

→ Pour la fonction b, le plus simple consiste encore à développer :

    \[ b\left(x\right)=x^{3}+3x^{2}+2x \]

puis à dériver :

    \[ b'\left(x\right)=\boxed{3x^{2}+6x+2} \]

Une autre approche consisterait à voir b comme le produit de trois fonctions, ce qui nous renvoie à l’exercice n° 8, mais pour un exemple aussi simple, c’est inutilement compliqué !!

→ Pour la fonction c, il serait maladroit de développer l’expression avant de dériver. En fait, pas seulement “maladroit”, mais carrément infaisable ! Si vous ne me croyez pas, jugez plutôt …
Voici la version développée :

    \[ \begin{matrix} \left(x^{2}+x-2\right)^{7}& = &{x}^{14}+7\,{x}^{13}+7\,{x}^{12}-49\,{x}^{11}-91\,{x}^{10}+161\,{x}^{9}+357\,{x}^{8}-363\,{x}^{7}\\ & & -714\,{x}^{6}+644\,{x}^{5}+728\,{x}^{4}-784\,{x}^{3}-224\,{x}^{2}+448\,x-128 \end{matrix} \]

Je vous rassure : je n’ai pas pas calculé ça à la main 🙂

Vous voyez ? Ce n’est pas raisonnable … En revanche, nous savons dériver une fonction du type u^{n}. Je vous remets la formule sous le nez …. si u est dérivable et si n\geqslant1, alors :

    \[ \left(u^{n}\right)'=n\thinspace u^{n-1}u' \]

En appliquant ceci, on voit que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ c'\left(x\right)=\boxed{7\left(x^{2}+x-2\right)^{6}\left(2x+1\right)} \]

et voilà 🙂

→ Pour la d, on applique la formule qui donne la dérivée de l’inverse, c’est-à-dire :

    \[ \left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^{2}} \]

ce qui nous donne :

    \[ d'\left(x\right)=\boxed{-\frac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}} \]

→ Pour e, on dérive bien sûr le quotient \frac{u}{v}, avec :

    \[ u\left(x\right)=x\qquad\text{et}\qquad v\left(x\right)=x^{4}+1 \]

d’où :

    \[ u'\left(x\right)=1\qquad\text{et}\qquad v'\left(x\right)=4x^{3} \]

ce qui donne :

    \[ e'\left(x\right)=\frac{1\times\left(x^{4}+1\right)-x\times\left(4x^{3}\right)}{\left(1+x^{4}\right)^{2}}=\boxed{\frac{1-3x^{4}}{\left(1+x^{4}\right)^{2}}} \]

→ Enfin, pour la f, on va commencer par développer numérateur et dénominateur, ce qui va s’accompagner pour chacun d’eux d’une petite simplification :

    \[ f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+1\right)^{3}-3x^{2}}{\left(2x+1\right)^{2}-4x^{2}}}=\frac{x^{3}+3x+1}{4x+1} \]

Ensuite, on pose :

    \[ u\left(x\right)=x^{3}+3x+1\qquad\text{et}\qquad v\left(x\right)=4x+1 \]

d’où :

    \[ u'\left(x\right)=3x^{2}+3\qquad\text{et}\qquad v'\left(x\right)=4 \]

et donc :

    \[ f'\left(x\right)=\frac{\left(3x^{2}+3\right)\left(4x+1\right)-4\left(x^{3}+3x+1\right)}{\left(4x+1\right)^{2}}=\boxed{\frac{8x^{3}+3x^{2}-1}{\left(4x+1\right)^{2}}} \]

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