Exercices sur les applications - 01

Exercices sur les applications – 01

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:20 août 2017
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur la notion d’application (fiche 01).

Chacun des dessins ci-dessous représente une correspondance. Expliquer, dans chaque cas, s’il s’agit d’une application et – le cas échéant – d’une injection, d’une surjection, voire d’une bijection :

Préciser, pour chaque application, si elle est injective (ou non), surjective (ou non) :

$\begin{eqnarray*}f: & \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto 3n-2\\g: & \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n+\left(-1\right)^{n}\\h: & \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}, & n \mapsto n^{2}-n\end{eqnarray*}$

Comparer avec l’exercice suivant.

Pour chacune des applications suivantes, préciser s’il s’agit d’une injection (ou non), d’une surjection (ou non) :

$\begin{eqnarray*}u: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto 3x-2\\v: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto x+\cos\left(\pi x\right)\\w: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , & x \mapsto x^{2}-x\end{eqnarray*}$

Comparer avec l’exercice précédent.

Montrer que l’application

$Q:\mathbb{R}\rightarrow\left]0,+\infty\right[,\thinspace x\mapsto x+\sqrt{x^{2}+1}$

est une bijection et déterminer sa réciproque.

En déduire que l’application

$\text{A}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto \ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$

est aussi une bijection. Quelle est sa réciproque ?

Proposer un exemple d’application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui soit injective et non surjective. Proposer aussi un exemple d’application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui soit surjective et non injective.

Donner un exemple d’application périodique et surjective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}.$

Trouver deux applications $u,v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ injectives telles que $\forall x\in\mathbb{R},\thinspace u\left(x\right)+v\left(x\right)=x^{2}.$