Challenge n° 25 : polynômes stabilisant les repunits

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Les “repunits” sont les entiers naturels dont l’écriture décimale ne comporte que le chiffre ‘1’.

On note \mathcal{R} l’ensemble des repunits :

    \[ \mathcal{R}=\left\{ 1,\:11,\:111,\:\text{etc}\cdots\right\} \]

Déterminer quels sont les polynômes à coefficients réels P tel que :

    \[ \forall r\in\mathcal{R},\thinspace P\left(r\right)\in\mathcal{R} \]


 

Une solution est consultable ici.

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Cet article a 2 commentaires

  1. Avec l’etudiant du MIT, nous pensons avoir trouve’:
    S = {10^k, avec k>=1}
    f(x) = 9*x +1
    Un polynome Q(x) tq Q(s) soit dans S par ex Q(x) = x^n/10^k avec k <= n
    P qui satisfait P(r) est dans R (comme definit dans l'ennonce') d'ou`:
    Q = f o P o f^{-1} et on en deduit P(x) tq P(r) soit dans R
    P(x) = (f^{-1} o Q o f)(x)
    En applicant les compose'es on trouve P(x) = ( (9x + 1)^{n} / (9 * 10^{k}) ) – 1/9

    ceci car f(r) = S pour tout r dans R et donc f^{-1}(s) = R
    On verifie pour tout r = Sigma (10^i ) for i = {0 a` m} qu'on insere dans P(x) et on trouve un nombre fait d'une succession de chiffres de 9 divise'e par 9 donne donc un element de R.

  2. celui la` me semble bien complique’… j’ai mis un etudiant du MIT sur le coup…. je n’arrive pas a` decoller au dela` de la decomposition de r en fonction des puissances de 10 ou bien de r(k+1) compare’ a` r (k)…. je suppose bien entendu que P(r) puisse etre n’importe quel nombre de {R} et r etant un quelconque nombre de {R}. Les deux etant differents.
    De meme, P(x) est un element de Rn[x]

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