Challenge 25 : polynômes stabilisant les repunits

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Les “repunits” sont les entiers naturels dont l’écriture décimale ne comporte que le chiffre ‘1’.

On note \mathcal{R} l’ensemble des repunits :

    \[\mathcal{R}=\left\{ 1,\:11,\:111,\:\text{etc }\cdots\right\}\]

Déterminer quels sont les polynômes à coefficients réels P tel que :

    \[\forall r\in\mathcal{R},\thinspace P\left(r\right)\in\mathcal{R}\]


Une solution est disponible ici

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Cet article a 2 commentaires

  1. joseph cesana

    Avec l’étudiant du MIT, nous pensons avoir trouvé :
    S = \{10^k, \text{avec }k\geq1\}
    f(x) = 9*x +1
    Un polynôme Q tq Q(s) soit dans S par ex Q(x) = x^n/10^k avec k\leq n

    P qui satisfait P(r) est dans R (comme défini dans l’énoncé) d’où:
    Q = f\circ P\circ f^{-1} et on en déduit P(x) tq P(r) soit dans R

    P(x) = (f^{-1}\circ Q\circ f)(x)
    En appliquant les composées on trouve P(x) = ( (9x + 1)^{n} / (9 * 10^{k}) ) - 1/9

    ceci car f(r) = S pour tout r\in\mathcal{R} et donc f^{-1}(S) = r

    On vérifie pour tout r=\sum_{i=0}^m10^i qu’on insère dans P(x) et on trouve un nombre fait d’une succession de chiffres de 9 divisée par 9 donne donc un élément de R.

  2. joseph cesana

    Celui là me semble bien compliqué… j’ai mis un étudiant du MIT sur le coup…. je n’arrive pas à décoller au delà de la décomposition de r en fonction des puissances de 10 ou bien de r(k+1) comparé à r(k)… je suppose bien entendu que P(r) puisse être n’importe quel nombre de \mathcal{R} et r étant un quelconque nombre de \mathcal{R}. Les deux étant différents. De même, P est un élément de \mathbb{R}_n[X]

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