
Les repunits sont les nombres de la forme :
Considérons un polynôme vérifiant
Le polynôme
défini par :
vérifie :
Manifestement,
Notons son degré et
son coefficient dominant (
et
On sait que :
Il s’ensuit que Et comme
il existe
tel que
En outre, 0 étant le seul point d’accumulation de la suite
est stationnaire : il existe
tel que
Comme :
on conclut que est nécessairement de la forme suivante :
avec
Réciproquement, si est de cette forme, la condition
est-elle bien remplie ? Il faut que l’on ait :
En conclusion, les polynômes à coefficients réels laissant stable l’ensemble des repunits sont les :
Pour et
, cette formule donne les polynômes constants solutions (la constante étant évidemment un repunit).
Quelques autres polynômes solutions sont :
Tous ces polynômes sont à coefficients rationnels. Et ceux d’entre-eux qui sont à coefficients entiers correspondent à .
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