Solution pour le challenge n° 25

Les repunits sont les nombres de la forme :

$u_{n}=\frac{10^{n}-1}{9}\qquad\text{avec }n\in\mathbb{N}^{\star}$

Les polynômes cherchés sont les $P\in\mathbb{R}\left[X\right]$ vérifiant :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists m\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace P\left(\frac{10^{n}-1}{9}\right)=\frac{10^{m}-1}{9}\qquad\left(\heartsuit\right)}$

Considérons un polynôme $P$ vérifiant $\left(\heartsuit\right).$ Le polynôme $Q$ défini par :

$Q\left(X\right)=9\thinspace P\left(\frac{X-1}{9}\right)+1$

vérifie :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\exists m\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace Q\left(10^{n}\right)=10^{m}\qquad\left(\clubsuit\right)$

Manifestement, $Q$ n’est pas le polynôme nul.

Notons $d$ son degré et $a$ son coefficient dominant ( $d\in\mathbb{N}$ et $a\in\mathbb{R}^{\star}).$

On sait que :

$\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{Q\left(t\right)}{t^{d}}=a$

En particulier, la suite $\left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}$ converge vers $a.$ Mais d’après $\left(\clubsuit\right),$ cette suite est à termes dans l’ensemble $D=\left\{ 10^{k};\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} .$

Il s’ensuit que $a\in\overline{D}=D\cup\left\{ 0\right\} .$ Et comme $a\neq0,$ il existe $h\in\mathbb{Z}$ tel que $a=10^{h}.$

En outre, 0 étant le seul point d’accumulation de $D,$ la suite $\left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}$ est stationnaire : il existe $n_{0}\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que

$\forall n\geqslant n_{0},\thinspace\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}=10^{h}$

Mais alors le polynôme $Q\left(X\right)-10^{h}X^{d}$ possède une infinité de racines (les $10^{n}$ pour tout entier $n\geqslant n_{0})$ et c’est donc le polynôme nul.

Comme :

$P\left(X\right)=\frac{1}{9}\left[Q\left(9X+1\right)-1\right]$