Solution pour le challenge 25
Les repunits sont les nombres de la forme :
![Rendered by QuickLaTeX.com P](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6679074dadeda754275442cb734b0c3e_l3.png)
Soit un tel polynôme et soit
défini par
. Alors :
n’est donc pas le polynôme nul. Notons
son degré et
son coefficient dominant (
et
On sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\frac{Q\left(10^{n}\right)}{10^{nd}}\right)_{n\geqslant1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4605d900b679f4a380b8c3e670d1368c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-86ee1849da018700d745d46e99c8091f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\clubsuit\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13d2810fba89067ec7bf9911cbc68a4b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com D=\left\{ 10^{k};\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} .](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df0ca4df43d007b484cedffe1369dc32_l3.png)
Il s’ensuit que Et comme
il existe
tel que
En outre, 0 étant le seul point d’accumulation de la suite
est stationnaire : il existe
tel que
![Rendered by QuickLaTeX.com Q-10^{h}X^{d}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab24968cb1e1e4b4c6cb62eefd4c5449_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 10^{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-426ad09d5d5495140340e67c355a3078_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant n_{0})](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bebc06293dd3ca42ebd31dfa3f4f14c2_l3.png)
Comme :
![Rendered by QuickLaTeX.com P](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6679074dadeda754275442cb734b0c3e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com h\in\mathbb{Z}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90bb37a4dc5e770b9e1d878904004594_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com d\in\mathbb{N}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ce79e08fdac2d333c823ff3f0cedee0_l3.png)
Réciproquement, si est de cette forme, la condition
est-elle bien remplie ? Il faut que l’on ait :
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathcal{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8ca0a111209e083903d0a0f921cf2db_l3.png)
En conclusion, les polynômes à coefficients réels laissant stable l’ensemble des repunits sont les :
avec entiers tels que
et
.
Pour et
, cette formule donne les polynômes constants solutions (la constante étant évidemment un repunit).
Quelques autres polynômes solutions :
,
,
,
respectivement obtenus pour : et
obtenu pour et
obtenu pour et
Tous ces polynômes sont à coefficients rationnels. Et ceux d’entre-eux qui sont à coefficients entiers correspondent à .
Pour consulter l’énoncé, c’est ici