Solution pour le challenge 73
La construction qui suit met en valeur l’idée selon laquelle on résout parfois plus simplement une question en augmentant la dimension de l’espace ambiant.
Posons, pour tout :



Il est clair que est une famille non dénombrable de parties de
non dénombrables et deux à deux disjointes.
Par ailleurs, on sait qu’il existe une bijection
Détail (cliquer pour déplier / replier)
L’équipotence de et
peut être justifiée comme suit.
On note pour indiquer que les ensembles
et
sont équipotents (c’est-à-dire : en bijection l’un avec l’autre).
On sait que si est infini et si
alors
Il en résulte que
Or et donc
Pour les détails, on pourra se reporter à cet article.
Il suffit alors de poser, pour tout :





Pour consulter l’énoncé, c’est ici
Merci pour votre réponse. Je ne l’avais pas vue tout de suite, parce que je pensais que je recevrai automatiquement un mail pour m’avertir (il me semble que c’était comme ça les autres fois). En fait, mon idée de bijection de R² sur R était d’alterner les décimales des deux nombres de départ (sans passer par le développement en base 2, ce qui ne change pas grand chose finalement). Mais je me suis rendu compte que ça marchait moyennement du fait qu’on doive interdire qu’une partie décimale « se termine » par une infinité de 9. Par exemple 9090,90909090… devrait avoir pour antécédent (99,9999… ; 0), c’est-à-dire (100 ; 0), mais l’image de ce couple est en fait 100000. Du coup, c’est pour ça que je vous ai posé la question. Mais ne vous cassez pas la tête, c’était juste par curiosité. J’imagine que cette question a bien dû être résolue, peut-être d’une façon très différente.
Bonjour. Avez-vous un exemple de bijection explicite pas trop alambiquée de R² sur R ?
Bonne question …
est équipotent à
, il suffit de construire une bijection de
vers
.
est en bijection avec l’ensemble des suites binaires (à termes dans
) dont les termes ne valent pas tous 1 APCR : il suffit d’associer à chaque
son développement propre en base 2.
, on note
la suite de ses chiffres binaires et on lui associe le couple
défini par les suites extraites
et
.
est
, nous avons une bijection :

Vu que
Par ailleurs,
Cela dit, on prend
Plus formellement, et vu que le n-ème chiffre binaire de
Je ne vois pas moins alambiqué … et j’espère ne pas avoir raconté de bêtises.
Bon … je me réponds à moi-même … il y a quand même un souci dans ma soi-disant bijection en raison de la non-unicité du développement binaire.
avec
(écriture binaire), alors on a aussi
et donc quatre antécédents, à savoir :




Par exemple, si l’on considère le couple
Bref, il faut encore réfléchir …