Avant toute chose, précisons un point de vocabulaire : une partie propre d’un ensemble non vide E est une partie de E qui n’est ni vide, ni égale à E lui-même. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels multiples de 3 est une partie propre de 
.
Rappelons également que si 
est une application et si 
est une partie de 
, on note 
l’image directe de par 
, à savoir l’ensemble des images par des éléments de :
![\[f\langle A\rangle=\{f(a);\:a\in A\}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5e302975cbbb5d67371476c9d497ff2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, alors ![f\langle[-1,2]\rangle=[0,4]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-556e83db4ae8f995cb372379e88f0383_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Ceci étant dit, voici l’énoncé du challenge d’aujourd’hui …
Etant donné un ensemble , il s’agit d’établir l’équivalence entre deux assertions :
Assertion 1
L’ensemble E est infini.
Assertion 2
Pour toute application 
,
il existe une partie propre de qui contient son image directe.
Une solution est disponible ici