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\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)}

Supposons E infini. Soit x\in E et soit A=\left\{ f^{p}\left(x\right);p\in\mathbb{N}^{\star}\right\} .

Ici, f^{p} désigne la p-ème itérée de f c’est-à-dire {\displaystyle \underbrace{f\circ\cdots\circ f}_{p\text{ fois}}}.

On observe que :

  • A\neq\emptyset (évident).
  • f\left\langle A\right\rangle \subset A. En effet, si y\in f\left\langle A\right\rangle, alors il existe a\in A tel que y=f\left(a\right) et il existe p\in\mathbb{N}^{\star} tel que a=f^{p}\left(x\right). Ainsi : y=f^{p+1}\left(x\right)\in A.
  • Si x\not\in A, alors A\neq E. Et sinon, il existe p\in\mathbb{N}^{\star} tel que f^{p}\left(x\right)=x, auquel cas :

        \[A=\{f^i(x);\:0\leqslant i\leqslant p-1\}\]

    L’inclusion \supset est évidente et l’inclusion inverse se voit facilement par division euclidienne. Ceci prouve que A est fini et donc que A\neq E.

On a bien construit une partie de E ayant les propriétés voulues.

\boxed{\left(2\right)\Rightarrow\left(1\right)}

On prouve la contraposée. Supposons E fini et posons E=\left\{ x_{0},\cdots,x_{n-1}\right\} .
Soit alors f:E\rightarrow E définie par :

    \[\forall i\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket ,\thinspace f\left(x_{i}\right)=x_{\left(i+1\right)\text{ mod }n}\]

Soit A une partie propre de E. Si \forall i\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket ,\thinspace x_{i}\in A\Rightarrow f\left(x_{i}\right)\in A alors A=E, ce qui est exclu. Il existe donc i\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket tel que x_{i}\in A et f\left(x_{i}\right)\notin A.
Ainsi : f\left\langle A\right\rangle \not\subset A, comme souhaité.

Très bonne solution proposée par Joël CHARLES-REBUFFE, futur élève en section MP* au lycée Thiers (Marseille).

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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