
Supposons infini. Soit
et soit
Ici, désigne la
-ème itérée de
c’est-à-dire
On observe que :
(évident).
En effet, si
, alors il existe
tel que
et il existe
tel que
Ainsi :
- Si
alors
Et sinon, il existe
tel que
auquel cas :
est évidente et l’inclusion inverse se voit facilement par division euclidienne. Ceci prouve que
est fini et donc que
On a bien construit une partie de ayant les propriétés voulues.
On prouve la contraposée. Supposons fini et posons
Soit alors définie par :

Soit une partie propre de
Si
alors
ce qui est exclu. Il existe donc
tel que
et
Ainsi : , comme souhaité.
Très bonne solution proposée par Joël CHARLES-REBUFFE, futur élève en section MP* au lycée Thiers (Marseille).
Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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