Solution pour le challenge n° 49

Solution pour le challenge 49

$\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)}$

Supposons $E$ infini et soit $f:E\to E$ une application. Etant donné $x\in E$ , considérons la partie $A=\left\{ f^{p}\left(x\right);p\in\mathbb{N}^{\star}\right\} .$

Ici, $f^{p}$ désigne la $p$ -ème itérée de $f$ c’est-à-dire ${\displaystyle \underbrace{f\circ\cdots\circ f}_{p\text{ fois}}}.$

Alors :

$A\neq\emptyset$ (puisque $x\in A$ ).
$f\left\langle A\right\rangle \subset A.$ En effet, si $y\in f\left\langle A\right\rangle$ , alors il existe $a\in A$ tel que $y=f\left(a\right)$ et il existe $p\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que $a=f^{p}\left(x\right).$ Ainsi : $y=f^{p+1}\left(x\right)\in A.$
Pour voir que $A\neq E$ , distinguons deux cas. Si $x\not\in A,$ c’est clair. Sinon, il existe $p\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que $f^{p}\left(x\right)=x,$ auquel cas :
$A=\{f^i(x);\:0\leqslant i\leqslant p-1\}$
En effet, l’inclusion $\supset$ est évidente et l’inclusion inverse se voit facilement par division euclidienne. Il en résulte en particulier que $A$ est fini et donc que $A\neq E.$

On a bien construit une partie de $E$ ayant les propriétés voulues.

$\boxed{\left(2\right)\Rightarrow\left(1\right)}$

On prouve la contraposée. Supposons $E$ fini et posons $E=\left\{ x_{0},\cdots,x_{n-1}\right\} .$
Soit alors $f:E\rightarrow E$ définie par : $\forall i\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket ,\thinspace f\left(x_{i}\right)=x_{\left(i+1\right)\text{ mod }n}$

Soit $A$ une partie propre de $E.$ Si $\forall i\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket ,\thinspace x_{i}\in A\Rightarrow f\left(x_{i}\right)\in A$ alors $A=E,$ ce qui est exclu. Il existe donc $i\in\left\llbracket 0,n-1\right\rrbracket$ tel que $x_{i}\in A$ et $f\left(x_{i}\right)\notin A.$
Ainsi : $f\left\langle A\right\rangle \not\subset A$ , comme souhaité.