Solution pour le challenge n° 49

$\boxed{\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right)}$

Supposons $E$ infini. Soit $x\in E$ et soit $A=\left\{ f^{p}\left(x\right);p\in\mathbb{N}^{\star}\right\} .$

Ici, $f^{p}$ désigne la $p$ -ème itérée de $f$ c’est-à-dire ${\displaystyle \underbrace{f\circ\cdots f}_{p\text{ fois}}}.$

On observe que :

$A\neq\emptyset$ (évident).
$f\left\langle A\right\rangle \subset A.$ En effet, si $y\in f\left\langle A\right\rangle$ , alors il existe $a\in A$ tel que $y=f\left(a\right)$ et il existe $p\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que $a=f^{p}\left(x\right).$ Ainsi : $y=f^{p+1}\left(x\right)\in A.$
Si $x\not\in A,$ alors $A\neq E.$ Et sinon, il existe $p\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que $f^{p}\left(x\right)=x,$ auquel cas :

$A=\{f^i(x);\:0\leqslant i\leqslant p-1\}$
L’inclusion $\supset$ est évidente et l’inclusion inverse se voit facilement par division euclidienne. Ceci prouve que $A$ est fini et donc que $A\neq E.$