Solution pour le challenge 26
Partons de la relation :
En élevant chaque membre au carré puis en isolant le double-produit, on obtient :
En remplaçant par
ceci devient :
Et donc, d’après :
c’est-à-dire :
On reconnaît le membre de droite de

Finalement, en notant



Passons au deuxième point.
On sait (formule de Jacques Binet) que :
Comme


et donc que :
Ceci permet de voir que le rayon de convergence de la série entière


Pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\left]-R,R\right[,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fae32aecf6c95671d6faae02b54e75f6_l3.png)
(qui sont valables pour tout

c’est-à-dire


Parmi les trois racines de


Ainsi ne s’annule pas pour
et l’on obtient finalement :
C’est ce qu’on appelle la série génératrice de la suite .
Avec un logiciel de calcul formel, il est facile d’obtenir les premiers termes du développement de la fraction rationnelle qui apparaît au membre de droite de .
Voici typiquement ce qu’on obtient (ici dans la syntaxe de Maple) :
taylor ((x-x^2)/(x^3-2*x^2-2*x+1), x=0, 9); x + x^2 + 4 x^3 + 9 x^4 + 25 x^5 + 64 x^6 + 169 x^7 + 441 x^8 + O(x^9)
Les coefficients des monômes
etc …
sont bien les carrés des 9 premiers nombres de Fibonacci.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici