Solution pour le challenge 26
Partons de la relation :
En élevant chaque membre au carré puis en isolant le double-produit, on obtient :
En remplaçant par
ceci devient :
Et donc, d’après :
c’est-à-dire :
On reconnaît le membre de droite de
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\star\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d928fdc3003a591d91c4792b57b630c9_l3.png)
Finalement, en notant
![Rendered by QuickLaTeX.com C_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-26302bc7cffc8992f9a842cd32b1ebab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com F_{n}^{2},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be1c0df47065d47f1e1bf2bc3da98d13_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\diamondsuit\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc291d7cc34630496cb2fe43af957fc1_l3.png)
Passons au deuxième point.
On sait (formule de Jacques Binet) que :
Comme
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha>1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c10c9a36a9cb68f8a7ace59da666ef7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left|\beta\right|<1,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c66997f90fb4b8d483fd5cecc4d1d056_l3.png)
et donc que :
Ceci permet de voir que le rayon de convergence de la série entière
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{n\geqslant0}C_{n}x^{n}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61074d484919b1053015732ab8caea4f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
Pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\left]-R,R\right[,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fae32aecf6c95671d6faae02b54e75f6_l3.png)
(qui sont valables pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com n\in\mathbb{N}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40c78fca23fcd2c6858fe61d5e522aaa_l3.png)
c’est-à-dire
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-890dcfffde33befcde9caececf0a154c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com Q\left(x\right)=x^{3}-2x^{2}-2x+1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e223fbfc05e4eacf9de553014f8e841_l3.png)
Parmi les trois racines de
![Rendered by QuickLaTeX.com Q](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-890dcfffde33befcde9caececf0a154c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{3-\sqrt{5}}{2}=R.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2cf41ca6e552e19e3341b779ed0da290_l3.png)
Ainsi ne s’annule pas pour
et l’on obtient finalement :
C’est ce qu’on appelle la série génératrice de la suite .
Avec un logiciel de calcul formel, il est facile d’obtenir les premiers termes du développement de la fraction rationnelle qui apparaît au membre de droite de .
Voici typiquement ce qu’on obtient (ici dans la syntaxe de Maple) :
taylor ((x-x^2)/(x^3-2*x^2-2*x+1), x=0, 9); x + x^2 + 4 x^3 + 9 x^4 + 25 x^5 + 64 x^6 + 169 x^7 + 441 x^8 + O(x^9)
Les coefficients des monômes
etc …
sont bien les carrés des 9 premiers nombres de Fibonacci.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici