Quelques mots au sujet de l'irrationalité

Au sein de l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, on distingue le sous-ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, c’est-à-dire pouvant s’écrire comme le quotient de deux entiers.

Les réels qui ne sont pas rationnels sont dits irrationnels. Leur ensemble est $\mathbb{R}-\mathbb{Q},$ le complémentaire de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}.$

L’exemple le plus célèbre de nombre irrationnel est sans conteste $\sqrt{2}.$ A la section 1, on trouvera la démonstration la plus couramment donnée du fait que $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ . La section 2 présente une preuve moins connue de ce résultat, qui en outre s’interprète de manière géométrique.

Plus généralement, si $n$ est un entier naturel qui n’est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}\notin\mathbb{Q}.$ Trois preuves détaillées de cette affirmation seront présentées à la section 3.

Le développement décimal de $\sqrt{2}$ commence par $1,4142136\cdots$ N’est-il pas étrange de penser que, dans cette liste interminable de chiffres, on ne trouvera jamais une séquence, aussi longue soit-elle, qui se répète indéfiniment ? Cette absence de périodicité à partir d’un certain rang n’est pas propre à $\sqrt{2}$ : elle est caractéristique des nombres irrationnels (et pas seulement en écriture décimale, mais quelle que soit la base de numération choisie). Plus d’infos à la section 4.

Il est facile de voir qu’il existe une infinité de nombre rationnels, ainsi qu’une infinité de nombres irrationnels. Mais ces deux infinis ne sont pas identiques ! Il existe une différence de « taille » , entre les ensembles $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ : dans le jargon de la théorie des ensembles, on dit qu’ils ne sont pas équipotents. Ceci est commenté à la section 5.

Autre différence notable : ajoutez ou multipliez deux rationnels, vous trouverez un rationnel. Faites de même avec deux irrationnels : impossible de prédire (en général) ce que vous trouverez. Dans certains cas, la réponse n’est même pas connue ! Cet aspect algébrique est effleuré à la section 6.

Les ensembles $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ sont donc bien différents, à divers égards. Ils partagent cependant une propriété commune : ils sont tous deux « denses » dans $\mathbb{R}.$ Cela signifie que tout nombre réel peut être approché d’aussi près qu’on le désire par des rationnels … et aussi par des irrationnels. Pour le dire autrement, ces deux espèces de nombres s’entrelacent à toutes les échelles, dans la trame des nombres réels. La section 7 précise le sens de cette notion de densité.

Enfin, étant donné un nombre réel, la question de sa nature (rationnelle ou irrationnelle) est souvent difficile d’accès, voire hors de portée des connaissances actuelles. La section 8 donne quelques bribes d’information à ce sujet.

L’étude des nombres irrationnels soulève une foule d’autres questions passionnantes : par exemple, celle de l’approximation diophantienne. Mais pour que ce texte reste accessible aux personnes non initiées, nous n’irons pas au-delà des quelques points énumérés plus haut.

1 – Une preuve très classique

Par définition, $\sqrt{2}$ désigne l’unique réel positif dont le carré est égal à $2.$ L’unicité est facile à voir : si $a,b>0$ vérifient $a^{2}=2$ et $b^{2}=2,$ alors $a^{2}-b^{2}=0,$ c’est-à-dire $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0$ et donc $a=b,$ puisque $a+b\neq0.$ L’existence peut être obtenue avec le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $f:\left[1,2\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x^{2}.$ Cette fonction est continue sur l’intervalle $\left[1,2\right],$ vérifie $f\left(1\right)=1<2$ et $f\left(2\right)=4>2,$ d’où l’existence d’un réel $r\in\left]1,2\right[$ tel que $f\left(r\right)=2.$

Pour montrer que $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q},$ on raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe $p,q\in\mathbb{N}^{\star}$ tels que :

$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$

et cherchons une contradiction. Quitte à diviser $p$ et $q$ par leur PGCD, on peut supposer que la fraction $p/q$ est irréductible (ce qui revient à dire que les entiers $p$ et $q$ sont premiers entre eux). En élevant au carré, on obtient :

( $\star$ ) $p^{2}=2q^{2}$

ce qui prouve que $p^{2}$ est pair. Il s’ensuit que $p$ est aussi pair (en effet, si $p$ était impair, de la forme $p=2k+1,$ on aurait $p^{2}=4k^{2}+4k+1$ qui est impair). Il existe donc $a\in\mathbb{N}^{\star}$ tel que $p=2a.$ En reportant dans l’égalité $\left(\star\right)$ , on voit que $4a^{2}=2q^{2},$ c’est-à-dire $q^{2}=2a^{2}.$ Le même raisonnement que précédemment s’applique : $q^{2}$ est pair et donc $q$ aussi. Ainsi, $p$ et $q$ sont tous deux pairs … mais ceci ne tient pas, puisqu’ils sont premiers entre eux !

Tout ceci prouve que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. Cette démonstration, qu’on peut qualifier d’arithmétique (puisqu’elle fait intervenir de manière cruciale une question de parité donc de divisibilité), se généralise : on le verra à la section 3.

En attendant, voici une autre preuve, dans un style différent …

2 – Une preuve moins classique, mais plus géométrique

Supposons l’existence d’entiers $p,q\in\mathbb{N}^{\star}$ tels que $p^{2}=2q^{2}.$ Choisissons en outre $p$ le plus petit possible. Vu que $q^{2}<2q^{2}<4q^{2},$ on constate que $q<p<2q.$ Posons $p'=2q-p$ et $q'=p-q.$ Ces deux entiers naturels non nuls vérifient :

$\begin{eqnarray*}p'^{2}-2q'^{2} & = & \left(2q-p\right)^{2}-2\left(p-q\right)^{2}\\& = & 4q^{2}+p^{2}-4pq-2\left(p^{2}+q^{2}-2pq\right)\\& = & 2q^{2}-p^{2}\\& = & 0\end{eqnarray*}$

Ainsi, $p'^{2}=2q'^{2}$ avec $p'<p$ : contradiction avec la minimalité de $p.$ Mais, me direz-vous, où est la géométrie annoncée dans le titre ? Elle arrive …

Supposons qu’un domaine $D$ du plan s’écrive de deux manières comme l’union quasi-disjointe de deux sous-domaines (ceci signifie que l’intersection est supposée d’aire nulle; l’aire de l’union est donc égale à la somme des aires) :

$D=S_{1}\cup S_{2}=T_{1}\cup T_{2}$

On peut écrire $S_{1}$ comme l’union de ses intersections avec $T_{1}$ et $T_{2}$ :

$S_{1}=S_{1}\cap D=S_{1}\cap\left(T_{1}\cup T_{2}\right)=\left(S_{1}\cap T_{1}\right)\cup\left(S_{1}\cap T_{2}\right)$

d’où :

(1) $\mathcal{A}\left(S_{1}\right)=\mathcal{A}\left(S_{1}\cap T_{1}\right)+\mathcal{A}\left(S_{1}\cap T_{2}\right)$

De même, on peut écrire $T_{2}$ comme l’union de ses intersections avec $S_{1}$ et $S_{2}$ :

$T_{2}=D\cap T_{2}=\left(S_{1}\cup S_{2}\right)\cap T_{2}=\left(S_{1}\cap T_{2}\right)\cup\left(S_{2}\cap T_{2}\right)$

d’où :

(2) $\mathcal{A}\left(T_{2}\right)=\mathcal{A}\left(S_{1}\cap T_{2}\right)+\mathcal{A}\left(S_{2}\cap T_{2}\right)$

Si l’on suppose en outre que :

$\mathcal{A}\left(S_{1}\right)=\mathcal{A}\left(T_{2}\right)$

alors il résulte de $\left(1\right)$ et $\left(2\right)$ que :

$\mathcal{A}\left(S_{1}\cap T_{1}\right)=\mathcal{A}\left(S_{2}\cap T_{2}\right)$

Supposons maintenant qu’il existe des entiers $p,q\in\mathbb{N}^{\star}$ tels que $p^{2}=2q^{2}.$ Un carré (bleu) de côté $p$ possède la même aire que deux carrés (rouges) de côté $q$ :

Décomposons le carré bleu en deux sous-domaines, de deux manières :

Le résultat précédent s’applique puisque :

$S_{1}\cup S_{2}=T_{1}\cup T_{2}\qquad\text{et}\qquad\mathcal{A}\left(S_{1}\right)=q^{2}=p^{2}-q^{2}=\mathcal{A}\left(T_{2}\right)$

On voit ainsi que les domaines vert (qui correspond à $S_{1}\cap T_{1})$ et orange (qui correspond à $S_{2}\cap T_{2})$ possèdent la même aire :

Autrement dit : $\left(2q-p\right)^{2}=2\left(p-q\right)^{2}.$

Il existe deux façons d’exprimer en quoi cette construction apporte une contradiction. Soit, comme expliqué au début de cette section, on considère $\left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{\star2}$ tel que $p^{2}=2q^{2},$ avec $p$ minimal et l’on se retrouve avec le couple $\left(p',q'\right)=\left(2q-p,p-q\right)\in\mathbb{N}^{\star2}$ qui vérifie $p'^{2}=2q'^{2}$ avec $p'<p.$ Soit on ne suppose pas $p$ minimal, mais l’on poursuit indéfiniment cette construction. Il apparaît ainsi une suite strictement décroissante d’entiers naturels, ce qui constitue une contradiction (puisqu’il n’existe aucune telle suite !).

3 – Généralisation : irrationalité de √n

Plutôt que de nous limiter à l’irrationalité de $\sqrt{2},$ soyons plus ambitieux et montrons le :

Théorème

Pour tout entier naturel $n$ qui n’est pas un carré parfait, le réel $\sqrt{n}$ est irrationnel.

Selon ce théorème, les nombres :

$\sqrt{2},\thinspace\sqrt{3},\thinspace\sqrt{5},\thinspace\sqrt{6},\thinspace\sqrt{7},\thinspace\sqrt{8},\thinspace\sqrt{10},\thinspace\cdots$

sont donc tous irrationnels. Nous allons envisager trois démonstrations.

La première repose sur le théorème fondamental de l’arithmétique, qui stipule que tout entier plus grand que 1 se décompose, de manière unique, en produit de facteurs premiers.

La seconde s’appuie sur le célèbre « test des racines rationnelles », dont on trouvera l’énoncé dans cet article.

La troisième, carrément astucieuse, ressemble un peu à la preuve de la section 2 : en supposant $\sqrt{n}\in\mathbb{Q},$ on construit une partie non vide $E$ de $\mathbb{N},$ puis un entier qui appartient à $E,$ tout en étant strictement plus petit que le plus petit élément de $E$ (ce qui est évidemment absurde !).

Preuve 1 (cliquer pour déplier / replier)

Supposons qu’il existe $a,b\in\mathbb{N}^{\star}$ tels que $\sqrt{n}=a/b.$ Comme $n$ n’est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ n’est pas un entier, donc $b\geqslant2$ et, du coup, $a\geqslant2.$ On peut donc décomposer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers :

$a=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}\qquad b=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\beta_{i}}$

avec $r\geqslant1,$ $p_{1},\cdots,p_{r}$ des nombres premiers distincts et $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}\in\mathbb{N}$ (on peut choisir la même liste de facteurs premiers, quitte à autoriser certains exposants $\alpha_{i}$ ou $\beta_{i}$ à valoir 0). On a alors :

$n\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{2\beta_{i}}=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{2\alpha_{i}}$

ce qui prouve que, pour tout $i\in\left\llbracket 1,r\right\rrbracket ,$ l’exposant de $p_{i}$ dans la décomposition de $n$ vaut $2\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)$ donc est pair. Mais alors, $n$ est un carré parfait : contradiction.

Preuve 2 (cliquer pour déplier / replier)

On rappelle (test des racines rationnelles) que si $d\in\mathbb{N}^{\star},$ si $a_{0},\cdots,a_{d}\in\mathbb{Z}$ et si l’équation

$a_{d}x^{d}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=0$

possède une solution rationnelle $\dfrac{p}{q},$ avec $\left(p,q\right)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^{\star}$ et $p,q$ premiers entre eux, alors nécessairement :

$p\mid a_{0}\qquad\text{et}\qquad q\mid a_{d}$

Appliquons ceci à l’équation :

$x^{2}-n=0$

où $n\in\mathbb{N}$ n’est pas un carré parfait. Une éventuelle solution rationnelle $\dfrac{p}{q}$ (avec les mêmes hypothèses que ci-dessus) doit notamment vérifier $q\mid1$ : il doit donc s’agir d’un entier. Mais cela signifie que $n$ est un carré parfait : absurde.

Preuve 3 (cliquer pour déplier / replier)

Dans ce qui suit, on note $\left\lfloor t\right\rfloor$ la partie entière du nombre réel $t.$ Soit $n\in\mathbb{N}$ qui n’est pas un carré parfait. Supposons $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}.$ L’ensemble $E=\left\{ q\in\mathbb{N}^{\star};\thinspace q\sqrt{n}\in\mathbb{N}\right\}$
est alors non vide, donc possède un plus petit élément, noté $k.$ Posons :

$k'=k\left(\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor \right)$

On observe plusieurs choses :

D’une part, $n$ n’est pas un carré parfait, d’où $\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor >0$ et donc $k'>0.$
D’autre part : $\sqrt{n}-\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor <1$ et donc $k'<k$
En outre, $k'=k\sqrt{n}-k\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor$ est entier (différence de deux entiers).
Enfin : $k'\sqrt{n}=kn-\left(k\sqrt{n}\right)\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor \in\mathbb{N}.$

$k'$ est donc un élément de $E,$ qui est strictement inférieur au plus petit élément de $E$ , ce qui est absurde.

4 – Caractérisation des rationnels par leur développement décimal

Le développement décimal du rationnel $\frac{1}{7}$ est :

$\dfrac{1}{7}=0,142857142857142857\cdots$

Il est obtenu en posant la division :

La séquence 142857 se répète indéfiniment et, pour cette raison, le développement est qualifié de périodique. Autre exemple :

$\dfrac{2003}{432}=4,6365740740740740740\cdots$

Là encore : une séquence de chiffres (740) apparaît à un certain point, puis se répète inlassablement … Le développement est « périodique à partir d’un certain rang » (on dit aussi « ultimement périodique »).

En fait, ces deux exemples ne constituent pas des cas isolés. Ils sont caractéristiques du développement décimal illimité d’un rationnel.

Vous pourriez objecter que le développement décimal de certains rationnels n’est pas illimité, comme par exemple :

$\dfrac{1}{8}=0,125$

En fait, ce développement (comme celui de tous les nombres décimaux, c’est-à-dire ceux de la forme $n\times10^{-p}$ avec $n\in\mathbb{Z}$ et $p\in\mathbb{N})$ est illimité, à condition de considérer qu’il ne comporte que des zéros à partir d’un certain rang :

$\dfrac{1}{8}=0,125000000000000000000\cdots$

Afin de décrire la situation générale, considérons un rationnel $x=\frac{a}{b}$ et étudions son développement décimal. On peut toujours, quitte à retrancher à $x$ sa partie entière, supposer que $0\leqslant x<1$ c’est-à-dire : $0\leqslant a<b.$ Pour obtenir les chiffres $q_{1},\thinspace q_{2},\thinspace q_{3},\thinspace\cdots$ du développement, on effectue une suite de divisions euclidiennes :

$\begin{eqnarray*}10a & = & bq_{1}+r_{1}\\10r_{1} & = & bq_{2}+r_{2}\\10r_{2} & = & bq_{3}+r_{3}\\\vdots & & \vdots\end{eqnarray*}$

Pour chaque $i\geqslant1,$ le reste $r_{i}$ est un entier compris inclusivement entre $0$ et $b-1.$ En particulier, la suite $r_{i}$ prend ses valeurs dans un ensemble fini, ce qui impose l’existence de deux indices $i<j$ tels que $r_{i}=r_{j}.$ On répète donc, à partir du rang $j,$ le même cycle de divisions qu’à partir du rang $i$ antérieur. Le développement décimal d’un rationnel est donc périodique à partir d’un certain rang.

Réciproquement, supposons que le développement décimal d’un réel $x$ soit périodique. Afin de simplifier la présentation, contentons-nous de traiter l’exemple de :

$x=1,234545454545\cdots$

où la séquence « 45 » se répète indéfiniment. L’idée est de multiplier $x$ par deux puissances de 10 bien choisies :

$10^{2}x=123,454545454545\cdots$

$10^{4}x=12345,454545454545$

d’où par différence :

$\left(10^{4}-10^{2}\right)x=12345-123$

et donc :

$x=\dfrac{12222}{9900}=\dfrac{679}{550}$

ce qui prouve que $x$ est rationnel. Afin de vérifier que vous avez compris, vous pouvez adapter ce calcul et trouver l’expression, sous forme d’une fraction de deux entiers, pour :

$x=176,012345345345345\cdots$

5 – Un infini plus gros que l’autre

Il existe évidemment une infinité de nombres rationnels, à commencer par les entiers !

Il existe aussi une infinité d’irrationnels : pour le voir, on peut considérer les nombres réels de la forme $r+\sqrt{2},$ avec $r\in\mathbb{Q}.$ Ces nombres sont tous irrationnels : voir section 6.

Brefs, les ensembles $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ sont tous deux infinis. On peut alors se demander si ces deux infinis sont de même « taille », c’est-à-dire (pour le dire de manière précise) si $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ sont équipotents. Rappelons que deux ensembles sont dits équipotents lorsqu’il existe une bijection de l’un vers l’autre.

On sait que $\mathbb{Q}$ est dénombrable, c’est-à-dire équipotent à $\mathbb{N}$ : voir par exemple cet article.

Notons $\varphi:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$ une bijection et supposons qu’il existe une bijection $\psi:\mathbb{R}-\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}.$ L’application

$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N},\thinspace x\mapsto\left\{ \begin{array}{cc}2\thinspace\varphi\left(x\right) & \text{si }x\in\mathbb{Q}\\2\thinspace\psi\left(x\right)+1 & \text{sinon}\end{array}\right.$

serait alors bijective. Mais ceci est absurde, car on sait depuis les travaux de Georg Cantor que $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable : quatre preuves sont proposées dans cette vidéo.

Bref : $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ ne sont pas équipotents.

Allons plus loin … Une question se pose : existerait-t-il un sous-ensemble infini de $\mathbb{R}$ qui ne soit équipotent ni à $\mathbb{N}$ ni à $\mathbb{R}$ ? Au tout début du XXème siècle, Cantor pensait que non : il formula ainsi la fameuse « hypothèse du continu ». Mais il ne parvint pas à la démontrer. Plus tard, en 1938, Gödel prouva que l’hypothèse du continu n’est pas réfutable dans le cadre de ZFC (axiomes de Zermelo-Fraenkel + axiome du choix). Encore plus tard, en 1963, Paul Cohen prouva qu’elle n’est pas non plus démontrable dans ZFC. Il s’agit donc d’un énoncé indécidable dans le cadre de cette théorie ! Si l’on osait la comparaison avec un jeu de société, tout se passe comme si l’on se trouvait face à une configuration pour laquelle aucune règle n’a été prévue : on peut soit choisir d’ajouter une règle autorisant une certaine action, soit décider d’interdire celle-ci.

6 – Rationalité et Opérations

Pour tout couple $\left(x,y\right)$ de nombres rationnels, si l’on pose

$x=\dfrac{p}{q}\qquad\text{et}\qquad y=\dfrac{r}{s}$

alors :

$x+y=\dfrac{ps+qr}{qs}\in\mathbb{Q}\qquad-x=\dfrac{-p}{q}\in\mathbb{Q}\qquad xy=\dfrac{pr}{qs}\in\mathbb{Q}$

En outre, si $x\neq0$ :

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{q}{p}\in\mathbb{Q}$

Bref, les rationnels se comportent bien vis à vis des opérations arithmétiques : on peut les ajouter ou les multiplier, passer à leurs opposés ou à leurs inverses … on ne sort pas de l’ensemble $\mathbb{Q}.$

En langage savant, $\mathbb{Q}$ est un « sous-corps » de $\mathbb{R}.$ En revanche, l’ensemble $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ des irrationnels présente une forme d’instabilité vis à vis de ces opérations : lorsqu’on ajoute ou qu’on multiplie deux irrationnels, on peut obtenir, selon le cas, un rationnel ou un irrationnel. Examinons le cas de l’addition : de toute évidence, $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont irrationnels et leur somme est nulle … donc rationnelle ! Quant à $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ (ce n’est pas une faute de frappe : on choisit volontairement deux fois le même), ils sont tous deux irrationnels, tout comme leurs somme. Et pour la multiplication, ce n’est pas plus difficile : $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\in\mathbb{Q}$ tandis que $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\notin\mathbb{Q}$ .

Ces exemples étant triviaux, examinons la somme des irrationnels $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ et prouvons qu’elle est irrationnelle. Si l’on note $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3},$ alors $\alpha^{2}=5+2\sqrt{6},$ donc $\left(\alpha^{2}-5\right)^{2}=24.$ Autrement dit, $\alpha$ est une solution de l’équation :

$x^{4}-10x^{2}+1=0$

Grâce au test des racines rationnels (mentionné plus haut), on voit que les éventuelles solutions rationnelles de cette équation ne peuvent être que $1$ ou $-1.$ Et comme ni $1$ ni $-1$ n’est solution, alors cette équation ne possède aucune racine rationnelle … ce qui prouve que $\sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}.$

Ajoutons que si $\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ et si $r\in\mathbb{Q},$ alors $r+\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}.$ En effet, si $r+\alpha$ était rationnel, et vu que la différence de deux rationnels est un rationnel, on aurait :

$\alpha=\left(r+\alpha\right)-r\in\mathbb{Q}$

ce qui est absurde ! On prouve manière analogue que le produit d’un irrationnel par un rationnel non nul est irrationnel.

Nettement plus intéressant : l’un au moins des nombres $e+\pi$ et $e\pi$ est irrationnel.

Afin de prouver cela, observons que $1,$ $e+\pi$ et $e\pi$ sont les coefficients du polynôme $P=\left(X-e\right)\left(X-\pi\right).$ Si ces trois nombres étaient rationnels, alors les deux racines de $P$ seraient des nombres algébriques : mais ceci contredit le (difficile) théorème de Hermite, selon lequel $e$ est transcendant (c’est-à-dire : n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers) ! Et comme $1$ est rationnel, on obtient la conclusion annoncée.

Etonnament, la nature (rationnelle ou irrationnelle) de $e+\pi$ et de $e\pi$ reste inconnue à ce jour : on ne sait trancher ni pour l’un, ni pour l’autre !

7 – Deux parties denses

Si l’on veut trouver une suite de nombres rationnels qui converge vers $\sqrt{2},$ c’est facile : il suffit de considérer pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star},$ le nombre obtenu en interrompant le développement décimal de $\sqrt{2}$ juste après le $n-$ ème chiffre qui suit la virgule. Si l’on note $r_{n}$ ce nombre alors :

$r_{1}=1,4\qquad r_{2}=1,41\qquad r_{3}=1,414$

$r_{4}=1,4142\qquad r_{5}=1,41421$

et ainsi de suite. Bien sûr, les nombres $r_{n}$ sont tous rationnels; par exemple, $r_{5}$ peut s’écrire comme le quotient de deux entiers :

$r_{5}=\dfrac{141421}{100000}$

Reformulons cela de manière plus « professionnelle », tout en généralisant au cas d’un réel quelconque.

Etant donné $x\in\mathbb{R},$ posons pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor$

Dans cette écriture, le symbole $\left\lfloor X\right\rfloor$ désigne la partie entière du réel $X,$ c’est-à-dire le plus grand des entiers qui sont inférieurs ou égaux à $X.$ On dispose donc de l’encadrement :

$\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n}x<1+\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor$

Après division par $10^{n}$ :

$r_{n}\leqslant x<10^{-n}+r_{n}$

puis, en soustrayant $r_{n}$ à chaque membre :

$0\leqslant x-r_{n}<10^{-n}$

Enfin, comme $\lim_{n\rightarrow+\infty}10^{-n}=0,$ on en déduit que $\lim_{n\rightarrow+\infty}r_{n}=x.$

Ainsi, tout réel est la limite d’une suite de nombres rationnels. On exprime cela en disant que $\mathbb{Q}$ est une partie dense de $\mathbb{R}.$

On peut facilement en déduire que $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ est aussi une partie dense de $\mathbb{R}.$ En conservant les notations précédentes, il suffit de considérer la suite de terme général :

$u_{n}=r_{n}+\dfrac{\sqrt{2}}{n}$

Cette suite converge aussi vers $x$ (puisque $\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{2}}{n}=0)$ et ses termes sont tous irrationnels (voir section 6).

8 – Des questions non (encore) résolues

Savoir si un nombre réel donné est rationnel ou non est une question souvent difficile. Bien souvent, on ne sait d’ailleurs pas y répondre avec les connaissances actuelles. Voici trois exemples parmi les plus célèbres :

Exemple 1

On s’interroge sur la nature (rationnelle ou irrationnelle) des valeurs de la fonction zeta ( $\zeta$ ) de Riemann aux entiers impairs :

$\zeta\left(2p+1\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2p+1}}$

Pour $p=1,$ la réponse est connue : Roger Apéry a démontré en 1979 que $\zeta\left(3\right)\notin\mathbb{Q}.$ En 2000, Tanguy Rivoal a prouvé qu’il existe une infinité d’irrationnels parmi les $\zeta\left(2p+1\right)$ , pour $p\in\mathbb{N}^{\star}\right\}.$ En 2002, il a prouvé que l’un au moins des neufs nombres $\zeta\left(5\right),\thinspace\zeta\left(7\right),\thinspace\zeta\left(9\right),\cdots,\zeta\left(21\right)$ est irrationnel. Mais malgré cela, on ne sait toujours pas si, individuellement, les nombres $\zeta\left(2p+1\right)$ pour $p\geqslant2$ sont rationnels ou non.

Exemple 2

La constante de Catalan :

$G=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n+1\right)^{2}}\simeq0,915965594\cdots$

peut aussi s’écrire sous forme intégrale :

$G=-\int_{0}^{1}\dfrac{\ln\left(t\right)}{1+t^{2}}\thinspace dt=\int_{0}^{1}\dfrac{\arctan\left(t\right)}{t}\thinspace dt$

Un article de W. Zudilin, publié en 2003 dans la revue Electronic Journal of combinatorics, exploite des pistes de recherche analogues à celles que R. Apéry a utilisées dans sa preuve pour $\zeta{3}$ . Ces méthodes fournissent des algorithmes originaux et performants de calcul approché de $G,$ mais n’ont pas permis, jusqu’ici, d’en prouver l’irrationalité.

Exemple 3

La constante d’Euler (ou d’Euler-Mascheroni) est définie par :

$\gamma=\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln\left(n\right)\right)\simeq0,577215665\cdots$

Voir cette vidéo pour plus d’informations à son sujet.

Il a été démontré que si $\gamma$ était un rationnel, son dénominateur comporterait plus de 240000 chiffres ! Evidemment, c’est impressionnant, mais cela ne prouve rien …
On définit la constante d’Euler-Gompertz :

$\delta=\int_{0}^{+\infty}\ln\left(1+x\right)e^{-x}\thinspace dx$

En 2009, Alexander Aptekarev a prouvé dans cet article que l’un au moins des deux nombres $\gamma$ ou $\delta$ est irrationnel. En 2012, Tanguy Rivoal est parvenu à prouver que l’un d’entre eux au moins est transcendant (voir cet article). Mais à ce jour, la question de l’irrationalité de $\gamma$ continue de résister aux coups de boutoir des meilleurs spécalistes de la théorie des nombres …

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