
L’algèbre linéaire consiste, grosso modo, en l’étude des propriétés des espaces vectoriels et des applications linéaires. Et lorsqu’on examine une application linéaire, on commence souvent par en chercher le noyau et / ou l’image.
C’est précisément ce point qui fait l’objet du présent article.
Après avoir rappelé les indispensables définitions, je détaillerai pour vous quelques exemples de difficulté graduée et je présenterai aussi quelques considérations théoriques, indispensables pour comprendre l’utilité de ces notions.
1 – Bref rappel sur les applications linéaires
Afin de respecter le contour des programmes de mathématiques des deux premières années d’enseignement supérieur scientifique, le cadre retenu sera celui des espaces vectoriels sur un corps (ce contexte pourrait être élargi à celui des modules sur un anneau commutatif).
Etant donnés deux espaces vectoriels et
sur un même corps
une application
est dite linéaire lorsqu’elle « préserve la structure vectorielle », au sens suivant :
- l’image de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des images,
- l’image du produit d’un scalaire
par un vecteur est égale au produit de
par l’image du vecteur.
En d’autres termes, une application linéaire est un « morphisme d’espaces vectoriels ».
Voici la version formalisée de la double-condition précédente :
Tout ceci équivaut à l’unique condition suivante :
Deux corollaires immédiats :
Corollaire 1
Par une application linéaire de vers
:
l’image du vecteur nul de est le vecteur nul de
.
En effet, en notant et
les vecteurs nuls respectifs de
et
:



Corollaire 2
Par une application linéaire :
l’image de toute combinaison linéaire est la combinaison linéaire
correspondante (ie : avec les mêmes coefficients) des images.
En symboles :
Ceci se démontre aisément, par récurrence sur le nombre de termes.
En parcourant la deuxième section de l’article Comment définir une application linéaire ? vous trouverez quelques exemples variés d’applications linéaires.
Ajoutons que l’ensemble des applications linéaires de
vers
est naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel, puisqu’il s’agit d’un sev de l’espace de toutes les applications de
vers
(linéaires ou non).
Lorsque , la notation
se simplifie en
Les applications linéaires de
dans lui-même sont appelées les endomorphismes de
Quant aux applications linéaires de dans
elle sont appelées formes linéaires sur
2 – Noyau et image : qu’est-ce donc ?
Définitions
Si alors :
➡ l’image de est l’ensemble des vecteurs de
qui sont atteints par
➡ le noyau de est l’ensemble des vecteurs de
dont l’image par
est nulle.
L’image et le noyau de sont notés
et
Ce sont des sev de
et de
respectivement.
Plus généralement, si un sous-espace vectoriel de
et si
un sous-espace vectoriel de
alors :
- l’image directe de
par
est un sous-espace vectoriel de
- l’image réciproque de
par
est un sous-espace vectoriel de
Une preuve détaillée de la seconde partie de cette affirmation est donnée dans l’article :
Image directe / image réciproque d’une partie
L’image et le noyau de apparaissent alors comme des cas particuliers :
- en prenant
on trouve
- en prenant
on trouve
3 – Quelques exemples explicites
Exemple 1
L’application :





Au début de la section 4, on verra ce qu’on peut dire – de manière générale – concernant l’image d’une forme linéaire.
Exemple 2
L’application :
On reconnaît le plan

En particulier




Question
Sauriez-vous déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire
Exemple 3
On note classiquement l’endomorphisme de
défini par :
Par exemple, si est le polynôme
alors :
Le noyau de est constitué des polynômes
vérifiant
Si un tel polynôme possède une racine réelle alors :

Par récurrence, on constate que pour tout
De ce fait,
possède une infinité de racines : c’est le polynôme nul.
Et si n’a pas de racines réelles, qu’à cela ne tienne: on considère
avec
quelconque. De toute évidence :
On peut donc appliquer ce qui précède à et conclure que
En définitive, si
alors
est constant.
Réciproquement, il est évident que les polynômes constants appartiennent à
En conclusion : est l’espace des polynômes constants (qui est une droite vectorielle). En particulier,
n’est pas injectif puisque
.
Question
Sauriez-vous déterminer l’image de ? Solution en annexe.
Exemple 4
Revenons aux formes linéaires, pour dire un mot de la trace d’une matrice carrée.
A toute matrice carrée de taille
et à termes dans
on associe la somme de ses termes diagonaux, appelée trace de
et notée


On peut démontrer la :
Proposition
Si le corps est de caractéristique nulle, alors le noyau de
(qui est, par définition, l’ensemble des matrices de trace nulle) est constitué des matrices semblables à une matrice de diagonale nulle.

ATTENTION … en caractéristique (avec
premier), on n’a plus qu’une inclusion. En effet, une matrice de la forme
avec
de trace nulle sera de trace nulle, mais la matrice unité de taille
à termes dans le corps
est de trace nulle sans être semblable à une matrice de diagonale nulle.
Démontrons la proposition ci-dessus en nous limitant à des matrices de taille 2 (le cas général se traiterait par récurrence sur la taille de la matrice).
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Soit telle que
Notons l’endomorphisme canoniquement associé à
Cela signifie que
et que
est la matrice de
relativement à la base canonique de
.
Si est une homothétie, disons
alors
et donc
(puisque
n’est pas de caractéristique 2). La matrice
est nulle dans ce cas.
Et sinon, on sait qu’il existe tel que la famille
soit libre (ceci résulte d’une caractérisation classique : un endomorphisme
est une homothétie si, et seulement si, pour tout vecteur
la famille
est liée). Cette famille est donc une base de
dans laquelle
est représenté par une matrice de la forme :

Question
Juste après la proposition précédente et dans la preuve de celle-ci, on a implicitement utilisé le fait que deux matrices semblables (en l’occurrence et
ont la même trace.
Sauriez-vous prouver ceci en toute généralité ?
Réponse en annexe.
Exemple 5
On note l’espace vectoriel des applications continues de
dans
et
celui des applications de classe
(c’est-à-dire : dérivables et à dérivée continue). On considère alors l’application :

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En choisissant pour ensemble de départ l’espace des applications dérivables de
dans
et, comme ensemble d’arrivée, l’espace
de toutes les applications de
dans
la dérivation serait toujours linéaire, son noyau serait toujours le même (la droite vectorielle constituée des applications constantes) mais elle ne serait pas surjective ! Il existe en effet des applications de
dans
ne possédant pas de primitives (d’ailleurs, d’après un célèbre théorème de Darboux, une application de
dans
doit nécessairement vérifier la propriété des valeurs intermédiaires pour posséder une primitive).
Question
désigne un intervalle non trivial de
. Sauriez-vous trouver un exemple d’application
ne possédant aucune primitive ?
Solution en annexe.
4 – Injectivité et noyau
Rappelons qu’une application est dite injective lorsque deux éléments distincts de
ont nécessairement des images distinctes par
Formulation équivalente et plus maniable :
Voir à ce sujet la vidéo : Correspondances, Fonctions, Applications (1)
Dans le cas d’une application linéaire, il est commode de caractériser l’injectivité par le noyau :
Proposition
Soient deux espaces vectoriels et soit
Alors :
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Supposons d’abord injective.
Comme est linéaire, on sait que
ce qui dit exactement que
En outre, si alors
et donc
par injectivité.
Ceci montre que . On a prouvé par double inclusion que :
Réciproquement, supposons que et donnons-nous deux vecteurs
tels que
Cette égalité peut s’écrire elle exprime donc le fait que
Ainsi
et l’injectivité de
est établie.
Donnons deux exemples.
Exemple 1
Notons l’espace des applications de classe
de
dans
qui s’annulent en
L’application


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Exemple 2
Soit un
-espace vectoriel et soient
deux sev de
Alors l’application :

En effet, supposons que et soit
Alors
c’est-à-dire
Comme
est stable par combinaison linéaire, alors
Donc
et donc
Ceci montre que
et l’injectivité de
est établie.
Réciproquement, supposons injective et soit
Alors
et
donc
c’est-à-dire
ou encore
5 – Quelques exemples de nature théorique
Image d’une forme linéaire
Dans le premier exemple de la section 3, on a rencontré une forme linéaire surjective.
D’une manière générale, si est un
-espace vectoriel et si
est une forme linéaire, alors
est un sous-espace vectoriel de
c’est-à-dire
ou
Retenons ceci :
Une forme linéaire est nécessairement nulle ou surjective.
Il n’y a pas de demi-mesure : soit tous les scalaires sont atteints par soit 0 est le seul scalaire atteint.
Concernant le noyau d’une forme linéaire, voir la section 6 plus bas.
Eléments propres
Considérons un -espace vectoriel et un endomorphisme
de
Par définition, un scalaire
est une valeur propre de
lorsqu’il existe
tel que
Un tel vecteur
est appelé un vecteur propre associé à la valeur propre
L’ensemble des valeurs propres de
est une partie de
appelée spectre de
et notée
Si alors :
Lorsque est valeur propre de
l’ensemble
est constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à
On l’appelle le sous-espace vectoriel propre pour associé à
L’étude des « éléments propres » est au cœur de la réduction des endomorphismes, qui est une question centrale en algèbre linéaire.
A ce sujet, je vous invite à consulter les vidéos éléments propres d’un endomorphisme et étude spectrale de l’endomorphisme
Noyau d’une restriction
Noyau d’une restriction – Si et si
est un sous-espace vectoriel de
on peut s’intéresser à la restriction de
à
qui est par définition l’application



Question
Soient un
-espace vectoriel de dimension finie et
des endomorphismes de
Prouver que :
Une solution est donnée en annexe.
Noyau ou image d’un polynôme d’endomorphisme
Avant tout, si vous avez besoin d’une petite piqure de rappel au sujet des polynômes d’endomorphismes, je vous suggère de consulter les vidéos Polynômes d’endomorphisme (1) et Polynômes d’endomorphisme (2)
Il est utile de connaître le résultat suivant :
Lemme
Si est un endomorphisme et si
alors le noyau et l’image de
sont stables par tout endomorphisme
qui commute avec
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Si et
commute, alors
et
commutent pour tout
et donc
et
commutent aussi. Ceci étant dit :
- Pour montrer que
est stable par
on se donne
et l’on vérifie que
:
- Pour montrer que
est stable par
on se donne
et l’on vérifie que
En posant
pour un certain
:
Voici un exemple d’utilisation de ce résultat.
Exemple (dans l’exemple …)
Dans l’espace l’endomorphisme de dérivation ne possède pas de racine carrée.
Notons l’endomorphisme de dérivation :















Dans une vidéo qui sera prochainement mise en ligne, on présentera une application plus consistante, à savoir que pour toute famille d’endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux, on peut trouver une base commune de diagonalisation.
6 – Hyperplans
Commençons par préciser le vocabulaire. Considérons un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel
de
.
Définition
On dit que est un hyperplan de
si
possède une droite supplémentaire, autrement dit s’il existe
tel que :
Si est de dimension finie, ceci revient à dire que
Mais lorsque est de dimension infinie, cette dernière formulation n’a pas de sens ! En revanche, on dispose de la caractérisation suivante, valable en dimension quelconque :
Proposition
est un hyperplan de
si, et seulement s’il existe une forme linéaire sur
, non nulle et de noyau
.
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Sens direct
Supposons l’existence d’une forme linéaire non nulle et de noyau
.
Choisissons et montrons que tout
s’écrit, de façon unique, sous la forme :









Sens réciproque
Supposons maintenant l’existence d’un vecteur tel que
.
On sait qu’on peut définir une application linéaire par ses restrictions à des sev supplémentaires. Construisons donc une forme linéaire en imposant
pour tout
et
Manifestement, n’est pas la forme linéaire nulle ! Il reste à constater que
L’inclusion est déjà évidente. Pour l’inclusion inverse, donnons-nous
et prouvons que
Pour cela, on commence par décomposer
sous la forme
avec
et
Alors :

7 – Equations linéaires
Définition
On appelle équation linéaire toute équation de la forme (et d’inconnue
) où
sont deux espaces vectoriels sur un même corps
,
une application linéaire de
dans
et
un vecteur de
.
L’ensemble des solutions est de l’une des deux formes suivantes :







- Résolution de l’équation homogène associée
- Recherche d’une solution particulière

ATTENTION … Il convient d’interpréter correctement l’écriture :
On note ainsi l’ensemble des vecteurs de la forme où
est arbitraire.
Donnons deux exemples.
Suite numériques vérifiant une relation de récurrence linéaire
Les suites vérifiant :

est l’endomorphisme défini par :
est la suite définie par
Solutions d’une équation différentielle linéaire
Les applications deux fois dérivables vérifiant :

est l’application linéaire définie par :
est l’application constante
8 – Le théorème du rang
Théorème et Définition
Etant donnés deux -espaces vectoriels
et
si
de dimension finie et si
est une application linéaire de
dans
alors :
est de dimension finie
(formule du rang)
L’entier est appelé « rang » de
et noté
La démonstration est courte et instructive, alors on en profite 🙂
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Avant tout, il faut observer que est évidemment de dimension finie si c’est déjà le cas de
Et sinon, on revient à la définition : rappelons qu’un espace vectoriel
est dit « de dimension finie » lorsqu’il existe une famille finie et génératrice de
Or par hypothèse, il existe une famille finie
qui est génératrice de
Pour tout
il existe
tel que
et il existe des scalaires
tels que :


Pour établir la formule du rang, la clef consiste à voir que est la dimension d’un sev supplémentaire de
dans
Il suffit donc de montrer que
est isomorphe à un tel sev.
Soit donc un sev de
tel que :

Attention, cette application ne doit pas être confondue avec Elle est, en quelque sorte, une « bi-restriction » de
dans la mesure où elle a été obtenue en « rétrécissant » les espaces de départ et d’arrivée.
Il s’agit de montrer que est un isomorphisme, c’est-à-dire que :
est linéaire
est injective
est surjective
La linéarité de ne fait aucun doute, puisque
est linéaire !
Pour montrer que est injective, il suffit (cf. section 4) de voir que son noyau est réduit à
Or, d’après ce qui a été dit au paragraphe 3 de la section 5 et vu que la somme est directe :
Enfin, si alors il existe
tel que
puis, en décomposant
selon la somme directe, il existe
et
tels que
d’où par linéarité :
Et cette dernière égalité peut encore s’écrire
La surjectivité de
est établie.
Voici un corollaire classique et d’usage courant :
Corollaire
Si sont des
-espaces vectoriels de même dimension finie et si
alors :
Le théorème rang a été utilisé dans l’exemple 2 de la section 3 et le sera de nouveau dans l’annexe. Voici un autre exemple :
Deux projecteurs assez voisins sont de même rang
On considère un espace vectoriel normé de dimension finie. La norme en vigueur sur
est notée
et l’on munit
de la norme (dite « norme d’opérateur ») définie par :










Et voici un exemple d’utilisation du corollaire énoncé plus haut :
Isomorphisme d’interpolation
Etant donnés un entier et des scalaires
tous distincts, l’application
En effet, après avoir constaté la linéarité de on examine son noyau …
Si alors chacun des scalaires
est une racine de
dans
d’où l’on déduit qu’il existe
tel que :





C’est maintenant qu’on invoque le corollaire : puisque les espaces vectoriels et
sont de même dimension, alors
est aussi surjective, d’où la conclusion.
9 – Quotienter par le noyau
La théorie des espaces vectoriels quotients n’est plus enseignée depuis belle-lurette, ni en premier cycle universitaire ni en classes préparatoires. Il va donc falloir expliquer un peu de quoi il retourne …
Dans ce qui suit, on considère un -espace vectoriel
ainsi qu’un sev
de
et l’on définit sur
une relation binaire, notée
en posant :
Il est facile de voir qu’il s’agit d’une relation d’équivalence. Voir à ce sujet la vidéo Théorème de Lagrange et Ordre d’un élément
Si alors la classe d’équivalence de
est (par définition) :
En particulier, n’est autre que la classe du vecteur nul.
L’ensemble des classes d’équivalence est noté
On va maintenant définir deux opérations (pour les puristes : une opération interne et une opération externe à opérateurs dans :
- si
et
sont deux classes d’équivalence, alors en choisissant
et
on pose :
- si
est une classe d’équivalence et si
alors en choisissant
on pose :
Comme toujours dans ce genre de situation, il faut s’assurer que :
- ces définitions ont un sens, c’est-à-dire qu’en dépit des apparences :
- la classe
ne dépend pas des représentants
et
choisis dans
et dans
- la classe
ne dépend pas du représentant
choisi dans
- la classe
- les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, qui viennent d’être définies, confèrent à
une structure de
-espace vectoriel.
Je vous passe les détails de ces vérifications (qui ne soulèvent aucune difficulté et constituent un bon exercice !), moyennant quoi on dispose désormais de l’espace vectoriel (appelé espace quotient de
par
).
Proposition
L’espace est isomorphe à tout supplémentaire de
dans
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Il suffit d’adapter légèrement la preuve de la 2ème partie du théorème du rang.Soit tel que
L’application

Elle est aussi injective, car :
En outre, est surjective car si
alors il existe
tel que
. On peut écrire
avec
et
On voit alors que
Corollaire
Si alors les espaces
et
sont isomorphes.
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
En effet, si désigne un supplémentaire de
dans
on sait :
- que
est isomorphe à
d’après le théorème précédent,
- que
est isomorphe à
d’après la deuxième partie du théorème du rang.
d’où le résultat.
Donnons un exemple d’utilisation de ce corollaire.
Exemple
Supposons de dimension finie et soit
L’ensemble :

Il est déjà clair que c’est-à-dire :
Pour déterminer cette dimension, l’idée est d’établir un isomorphisme entre et un espace vectoriel dont la dimension est connue.
Etant donné la condition
équivaut à
On comprend ainsi que, pour définir un élément
de
il est nécessaire et suffisant d’en connaître la restriction à un supplémentaire de
dans
Une façon de formaliser cette idée consiste à s’intéresser à l’application


Cette définition tient la route puisque, si et
sont deux représentants d’une même classe
alors
et donc
La linéarité de se prouve de manière « automatique » … en effet, si
et
alors pour tout
et en notant
:
Enfin (et surtout),

- Injectivité – si
alors, pour tout
:
- Surjectivité – pour tout
l’application
vérifiant
Au final :
Annexe : réponses aux questions
Détermination du noyau et de l’image de l’application linéaire
D’une part :




En outre :
Et comme la famille est libre, c’est une base du plan vectoriel
Détermination de l’image de l’endomorphisme
On note comme d’habitude l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à
On sait que puisque la famille
est une base de cet espace.
Si et si
n’est pas constant, alors
Et si est constant, on sait que
Ceci prouve que
On dispose donc de l’application que l’on peut noter
Comme

Il s’ensuit que autrement dit :
est surjective.
Finalement est surjective : en effet, pour tout
il suffit de choisir
de telle sorte que
et d’invoquer la surjectivité de
Deux matrices carrées semblables ont la même trace.
On va utiliser la propriété suivante (qui repose sur une simple interversion de sommes) :
Soient deux matrices semblables, ce qui signifie qu’il existe
vérifiant :
Un exemple de fonction numérique définie sur un intervalle et ne possédant aucune primitive.
Considérons
![Rendered by QuickLaTeX.com F:\left[-1,1\right]\rightarrow\mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1811328578d3b356c4b8eefdd76f14e_l3.png)


Comme est notamment continue en
alors :
Mais on sait bien que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en ce qui entraîne la même propriété pour
: contradiction !
Majoration de la dimension du noyau de la somme de deux endomorphismes.
Considérons la restriction de
au noyau de
:
D’après la remarque générale signalée au troisième point de la section 5 :
On observe que si alors
et donc
Réciproquement, si alors
et donc
Par conséquent :
Par ailleurs, si alors il existe
tel que
mais alors :

On applique maintenant la formule du rang, ce qui donne :
Vos questions ou remarques sont les bienvenues. Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact.
Bonjour,
Pour l’endomorphisme
défini par
, on peut déterminer l’image en décomposant selon l’écriture générale des polynômes de
tq:
. En développant, on aboutit à la formule suivante:
auquel cas on voit que c’est l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à
. Est-ce équivalent à la demonstration du cours ?
Bonjour Joseph,
On peut en effet exprimer comme vous le faites
dans la base canonique et constater que si
avec
, alors
, mais cet argument doit être légèrement étoffé pour expliquer que l’on atteint bien tout l’espace
, moyennant quoi on pourra conclure que
induit une application linéaire surjective de
vers
. Et comme ceci vaut pour tout
, on peut alors conclure que
est surjectif.