Exercices de calcul intégral - 05

Exercices de calcul intégral – 05

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:1 septembre 2024
Post category:Exercices

Neuf énoncés d’exercices sur les sommes de Riemann (fiche 02). La fiche 01 est ici.

Etant donné $\alpha>0,$ utiliser une somme de Riemann pour trouver un équivalent, lorsque $n\rightarrow+\infty$ , de :

$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}$

Calculer $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n+k}{n^{2}+k^{2}}.$

En utilisant une somme de Riemann, calculer $\int_{0}^{\pi}\sin\left(t\right)\thinspace dt.$

Dans l’exercice n° 6 de cette fiche, on établit la célèbre inégalité de Jensen « discrète » , dont l’énoncé est rappelé ci-dessous :

Théorème

Si $I$ est un intervalle non trivial et si $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ est convexe, alors :

$f\left(\sum_{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)\leqslant\sum_{i=1}^{n}t_{i}\thinspace f\left(x_{i}\right)$

pour tout $n\geqslant2,$ tout $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in I^{n}$ et tout $\left(t_{1},\cdots,t_{n}\right)\in\mathbb{R}_{+}^{n}$ tel que $\sum_{i=1}^{n}t_{i}=1.$

Montrer que si $I$ est un intervalle ouvert, si $u:\left[a,b\right]\rightarrow I$ est continue et si $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ est convexe, alors (inégalité de Jensen « continue ») :

$f\left(\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\thinspace u\left(t\right)\thinspace dt\right)\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(u\left(t\right)\right)\thinspace dt$

Soit $f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ de classe $C^{1}.$ Montrer que :

$\frac{1}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}\,f\left(t\right)\,dt-\frac{1}{2n}\,\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right)+o\left(\frac{1}{n}\right)$

Soient $f,g:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ des applications continues. Calculer :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\thinspace g\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$

Soit $f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ décroissante et convexe. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$S_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$

Montrer que la suite $\left(S_{n}\right)_{n\geqslant1}$ est croissante, puis donner un exemple montrant que, sans hypothèse de convexité, cette suite peut osciller.

Soit $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ continue.

On subdivise le segment $\left[a,b\right]$ en posant, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ et pour tout $k\in\left\llbracket 0,n\right\rrbracket$ :

$x_{k,n}=a+\frac{k}{n}\left(b-a\right)$

Calculer alors :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\left|\int_{x_{k,n}}^{x_{k+1,n}}f\left(t\right)\thinspace dt\right|$

On pose :

$f:\left]0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\dfrac{1}{x}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$

et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$S_{n}=\dfrac{1}{n}\thinspace\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$

Montrer que l’intégrale $\int_{0}^{1}\thinspace f\left(x\right)\thinspace dx$ est convergente.
Montrer que la suite $\left(S_{n}\right)_{n\geqslant1}$ est divergente.
Commenter, en faisant le lien avec l’exercice n° 8 de cette fiche

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Étiquettes : convexité, Heine, intégrale impropre, limite, Math-OS, MP*, MPI*, MPII, MPSI, somme de Riemann