Solutions détaillées de neuf exercices sur les sommes de Riemann (fiche 2)
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
On sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\dfrac{1}{n^{\alpha+1}}\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^{\alpha}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\int_{0}^{1}t^{\alpha}\thinspace dt=\dfrac{1}{\alpha+1}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-731dadb218ad42cdcbd6d8dc56a0a2e1_l3.png)
Ainsi, lorsque

:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{\sum_{k=1}^{n}k^{\alpha}\sim\dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d1fc564ff672cb544cd9ccf405f542d_l3.png)
Après avoir remarqué que, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\dfrac{n+k}{n^{2}+k^{2}}=\dfrac{1}{n}\:\dfrac{1+\frac{k}{n}}{1+\frac{k^{2}}{n^{2}}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d61bcf1c9841bf883b44218ec222310_l3.png)
on somme pour

à

et l’on reconnaît une somme de Riemann pour
![Rendered by QuickLaTeX.com f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto\dfrac{1+t}{1+t^{2}}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87f147fc7d873280ccc2d772e0716a54_l3.png)
Ainsi :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n+k}{n^{2}+k^{2}}=\int_{0}^{1}\dfrac{1+t}{1+t^{2}}\thinspace dt=\left[\arctan\left(t\right)+\dfrac{1}{2}\ln\left(1+t^{2}\right)\right]_{0}^{1} \]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1bb7bd09a56e573924b9fd0c2900e9d_l3.png)
soit finalement :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ \boxed{\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n+k}{n^{2}+k^{2}}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\ln\left(2\right)}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c475f8830ce781f7d0a863ccfa6ee075_l3.png)
Posons, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\qquad\text{et}\qquad G_{n}=\sum_{k=1}^{n}e^{ik\pi/n}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-636e8fc0a2de577886c1f51adf11005a_l3.png)
On reconnaît que

est une somme géométrique de raison

et que

est sa partie imaginaire. Ainsi :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[G_{n}=e^{i\pi/n}\thinspace\dfrac{1-e^{i\pi}}{1-e^{i\pi/n}}=\dfrac{2\thinspace e^{i\pi/n}}{1-e^{i\pi/n}}=\dfrac{2\thinspace e^{i\pi/2n}}{-2i\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)}=\dfrac{i\thinspace e^{i\pi/2n}}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c21a75a01fa795a45e554f9436a0c2f_l3.png)
puis :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A_{n}=\cotan\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abdf66a6e5b4ed47ec66cf948085ee8f_l3.png)
On calcule maintenant, comme demandé, l’intégrale

en passant par une somme de Riemann :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\int_{0}^{\pi}\sin\left(t\right)\thinspace dt=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{\pi}{n}\cotan\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a17cdd16848ddd794f6141115c06380_l3.png)
c’est-à-dire :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{\int_{0}^{\pi}\sin\left(t\right)\thinspace dt=2}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2dff3b546374ddfb27bfbde64cccb09a_l3.png)
Remarque
Ce calcul artificiel ne fournit évidemment pas le moyen le plus rapide de calculer cette intégrale ! Il est immédiat que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\int_{0}^{\pi}\sin\left(t\right)\thinspace dt=\left[-\cos\left(t\right)\right]_{0}^{\pi}=\cos\left(0\right)-\cos\left(\pi\right)=2\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfac9b42eee9425651c2ffb92ce6d982_l3.png)
Posons, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}u\left(a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\right)\qquad\text{et}\qquad T_{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\circ u\right)\left(a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cc0ce3433d3cb043a1a8b919cd204ad_l3.png)
D’après la version discrète de l’inégalité de Jensen :

Mais

et

sont des sommes de Riemann, respectivement attachées à

et à

donc en passant à la limite (et vue la continuité de

on obtient la conlusion souhaitée, à savoir :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{f\left(\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\thinspace u\left(t\right)\thinspace dt\right)\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(u\left(t\right)\right)\thinspace dt}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4d219f185fbc3045fdacac3727681c0_l3.png)
Posons :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[F\left(x\right)=\int_{0}^{x}\,f\left(t\right)\,dt\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7bc351d36446852fee4fb69fffaf904_l3.png)
Pour tout

et pour tout

il existe (d’après la formule de Taylor)-Lagrange) un réel
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle c_{n,k}\in\left]\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right[}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-017acbbf2aca80aba281412a959bc417_l3.png)
tel que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[F\left(\frac{k+1}{n}\right)=F\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{n}\,f\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{1}{2n^{2}}\,f'\left(c_{k,n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b40a5143934953b7058fb4c2920007b_l3.png)
Par sommation :

Or

est une somme de Riemann pour

associée à la subdivision pointée

et donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\,{\displaystyle \frac{1}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,f'\left(c_{n,k}\right)}=\int_{0}^{1}\,f'\left(t\right)\,dt=f\left(1\right)-f\left(0\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3346e42d76037250ab3a9b0326730c33_l3.png)
Finalement :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{\frac{1}{n}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}\,f\left(t\right)\,dt-\frac{1}{2n}\,\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right)+o\left(\frac{1}{n}\right)}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11a0d6c8bb77b90ecfbdc7b499ee7fc9_l3.png)
Posons, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\thinspace g\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\qquad\text{et}\qquad B_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\thinspace g\left(\dfrac{k}{n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-627ec42273d4d871310849b01457fa5e_l3.png)
On sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\lim_{n\rightarrow+\infty}B_{n}=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f4f2de3fb9e7b09790adcc223ba15ed_l3.png)
Par ailleurs :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|A_{n}-B_{n}\right|=\dfrac{1}{n}\left|\sum_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\left[g\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-g\left(\dfrac{k}{n}\right)\right]\right|\leqslant\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left|f\left(\dfrac{k}{n}\right)\right|\thinspace\left|g\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-g\left(\dfrac{k}{n}\right)\right|\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc68efa27bedba48850c38f87e0d5b50_l3.png)
et donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|A_{n}-B_{n}\right|\leqslant\dfrac{\left\Vert f\right\Vert_{\infty}}{n}\thinspace\sum_{k=1}^{n-1}\left|g\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-g\left(\dfrac{k}{n}\right)\right|\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4548d06d91d71692f2075fffa291540d_l3.png)
Comme

est uniformément continue (d’après le théorème de Heine), étant donné

il existe

tel que pour tout
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(x,x'\right)\in\left[0,1\right]^{2}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ba6ac1d08118dd25ad32aea24650576_l3.png)
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|x-x'\right|\leqslant\delta\Rightarrow\left|g\left(x\right)-g\left(x'\right)\right|\leqslant\dfrac{\epsilon}{\left\Vert f\right\Vert_{\infty}} \]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ed01ae19ebf283ce2b2087ca80cd32e_l3.png)
En choisissant

on constate alors que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ \left|A_{n}-B_{n}\right|\leqslant\dfrac{\left\Vert f\right\Vert_{\infty}}{n}\thinspace\left(n-1\right)\dfrac{\epsilon}{\left\Vert f\right\Vert_{\infty}}\leqslant\epsilon\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca8583addcb287d3151e8aace077d2f7_l3.png)
Ceci montre que

et donc que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{\lim_{n\rightarrow+\infty}A_{n}=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace g\left(t\right)\thinspace dt}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-681c764d1d71a52a5b4ac0cb896b3764_l3.png)
Soit
Pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\dfrac{k}{n}=\left(1-\dfrac{k}{n}\right)\dfrac{k}{n+1}+\dfrac{k}{n}\thinspace\dfrac{k+1}{n+1}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78322ce40bd70fdbe2b574a86c537407_l3.png)
donc :

La première inégalité découle de la convexité de

Pour la seconde, on voit que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{eqnarray*}& & \left[\left(1-\dfrac{k}{n+1}\right)\thinspace f\left(\dfrac{k}{n+1}\right)+\dfrac{k}{n+1}\thinspace f\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right)\right]-\left[\left(1-\dfrac{k}{n}\right)\thinspace f\left(\dfrac{k}{n+1}\right)+\dfrac{k}{n}\thinspace f\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right)\right]\\& = & \left(\dfrac{k}{n}-\dfrac{k}{n+1}\right)\left(f\left(\dfrac{k}{n+1}\right)-f\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right)\right)\\& \geqslant & 0\end{eqnarray*}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37e3eca4010201fad851f5b5c69c8660_l3.png)
en raison de la décroissance de

Ensuite, on obtient après sommation :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\sum_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)\leqslant\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}\left(n+1-k\right)\thinspace f\left(\dfrac{k}{n+1}\right)+\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}k\thinspace f\left(\dfrac{k+1}{n+1}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c56fd421f30e92b05d38eefe1079f2e_l3.png)
On rajoute à cette dernière somme un terme d’indice

(qui est nul) et on la ré-indexe :

Finalement :

On a prouvé le :
Théorème
Si
est décroissante et convexe, alors la suite
est croissante.
Considérons maintenant :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\left\{ \begin{array}{cc}1 & \text{si }0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}\\0 & \text{sinon}\end{array}\right.\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40ab66c6be0424fd6db34efcf22e9315_l3.png)
qui est décroissante (au sens large). Alors, pour tout

:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{n}=\dfrac{1}{n}\left\lfloor \dfrac{n}{2}\right\rfloor\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8289742fcc95457fb3713a1cddb0ea1a_l3.png)
et donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\forall p\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\left\{ \begin{array}{ccc}S_{2p-1} & = & \frac{p-1}{2p-1}\\S_{2p} & = & \frac{1}{2}\end{array}\right.\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1db3e1f262722f6d2be5699ec68e23a_l3.png)
On constate que la suite

converge vers

en oscillant (en particulier : elle n’est pas croissante).
Intuitivement, lorsque
est grand, tout se passe comme si, sur chacun des segments
la fonction
« n’avait pas le temps » de changer de signe. Ainsi, lorsque
est grand,
est « le plus souvent » égal à
Ceci suggère de montrer que :
(
) ![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}=\int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a0c35a85b79f58dbc96b8ac8361ad2e_l3.png)
D’après la première formule de la moyenne, pour tout
et tout
il existe
tel que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\int_{x_{k,n}}^{x_{k+1,n}}f\left(t\right)\thinspace dt=\frac{b-a}{n}f\left(c_{k,n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-284a141a73562f8059ab9607ffd60c9b_l3.png)
Introduisons la somme de Riemann :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left|f\left(x_{k,n}\right)\right|\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caa61283bfe5ce2b39a460d74c2894e2_l3.png)
On sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\int_{a}^{b}\left|f\left(t\right)\right|\thinspace dt\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-460e3adfc7c834c90f3aef9edd1ab765_l3.png)
Pour tout

d’après l’inégalité triangulaire :

Comme

est uniformément continue (théorème de Heine), il existe pour tout

un réel

tel que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\forall\left(t,t'\right)\in\left[a,b\right]^{2},\thinspace\left|t-t'\right|\leqslant\delta\Rightarrow\left|f\left(t\right)-f\left(t'\right)\right|\leqslant\frac{\epsilon}{b-a}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-047241743840a66cafe5a20958ce16f0_l3.png)
Ainsi :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[n\geqslant\frac{b-a}{\delta}\Rightarrow\left|I_{n}-S_{n}\right|\leqslant\frac{b-a}{n}\thinspace\frac{n\epsilon}{b-a}=\epsilon\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb871c1874e8effc8df2f8b86ef87d23_l3.png)
L’égalité

est établie.
Il est connu que l’intégrale
est convergente. En posant
il vient pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\int_{\epsilon}^{1}\dfrac{1}{x}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\thinspace dx=\int_{1}^{1/\epsilon}\thinspace\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt\underset{\epsilon\rightarrow0^{+}}{\longrightarrow}\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin\left(t\right)}{t}\thinspace dt\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8548e65b95f42352071e833ac48cbf9d_l3.png)
ce qui montre la convergence de l’intégrale
Afin de prouver que la suite
diverge, on prouve que la suite
ne converge pas vers
Pour tout
:

donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|S_{n+1}-S_{n}-2\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{\sin\left(1\right)}{n+1}\right|\leqslant\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}\leqslant\dfrac{\pi^{2}}{6}-1\leqslant0,65\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3cdd7572177a7e511827aece67280a19_l3.png)
et donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S_{n+1}-S_{n}-\dfrac{\sin\left(1\right)}{n+1}\geqslant2\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)-0,65\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d20d27d2bec54806fc87338b8518bb6_l3.png)
Or (cf. détail ci-dessous), il existe une extraction

telle que

d’où
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\lim_{n\rightarrow+\infty}2\cos\left(\varphi\left(n\right)+\dfrac{1}{2}\right)\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)-0,65=2\sin\left(\dfrac{1}{2}\right)-0,65>0,3\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f9c24b76352102c6da0df9ef28c3ef70_l3.png)
Ainsi, à partir d’un certain rang :

ce qui entraîne que

ne converge pas vers

et, a fortiori, que

ne converge pas vers
Détail
On sait que
est dense dans
Il existe donc des suites
et
telles que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p_{n}+2\pi k_{n}\rightarrow-\dfrac{1}{2}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71b6bf1d9dfdffb5c1834af81b185b6c_l3.png)
et donc :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos\left(p_{n}+\dfrac{1}{2}\right)\rightarrow1\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6a75a3973c156322da78e4102eba23e_l3.png)
Le lemme des pics dit que, de toute suite réelle, on peut extraire une sous-suite monotone. On peut donc extraire de

une sous-suite monotone

qui n’est pas stationnaire (car il n’existe pas d’entier

tel que

. S’agissant d’une suite d’entiers naturels, cette sous-suite est donc croissante. Elle n’est pas majorée (sans quoi elle serait stationnaire) et admet donc une sous-suite strictement croissante.
Commentaire : l’exemple ci-dessus montre que, sans hypothèse de monotonie, le théorème de convergence des sommes de Riemann pour des intégrales impropres est en défaut (voir l’exercice n° 8 de cette fiche).
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.