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exercice 1 facile

On peut calculer le double de la somme demandée en associant le premier terme au dernier, le second à l’avant-dernier, etc …

exercice 2 facile

L’application

    \[\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},t\thinspace\mapsto\frac{t}{1+t}\]

est croissante. Ceci devrait permettre de majorer le produit par une expression plus simple.

exercice 3 facile

Pour le première question, observer que pour tout k\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[z_{k}=S_{k}-S_{k-1}\]

(à condition de poser S_{0}=0). Pour la seconde question, on peut transformer la somme partielle {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}t_{k}z_{k}} et faire apparaître la n-ème somme partielle d’une série absolument convergente.

Il semble bien que l’énoncé donne déjà suffisamment d’indications …

Imaginer un ensemble E de cardinal 2n dans lequel on prélèverait un sous-ensemble de cardinal n-1. On peut cloisonner E en deux parties disjointes et de même cardinal …

On applique la formule qui donne l’expression du produit de deux matrices. Des sommes géométriques doivent apparaître … Attention : les indices de ligne et de colonne sont notés p,q (et non pas i,j afin d’éviter toute collision avec le nombre complexe i).

On peut chercher à exprimer

    \[\frac{n^{2}}{k^{2}\left(n-k\right)^{2}}\]

comme la somme de trois fractions plus simples, ce qui ramènera le calcul de u_{n} à des sommations classiques.

En utilisant la formule d’Euler pour le sinus :

    \[\forall t\in\mathbb{R},\thinspace\sin\left(t\right)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\]

on peut ré-écrire le produit p_{n} sous une forme plus maniable; on fait notamment apparaître la valeur en 1 du polynôme :

    \[Q_{n}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(X-e^{2ik\pi/n}\right)\]

exercice 9 difficile

Comparer les dérivées par rapport à x de chaque membre et raisonner par récurrence.


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