Solutions détaillées de neuf exercices sur les calculs de sommes (fiche 03).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.
![icone-math-OS-Exos](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/icone-Math-OS-Exos-205x205.png)
![exercice 1 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-1-small.png)
Considérons une suite arithmétique de raison
.
Pour tels que
notons :
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\llbracket p,q\rrbracket](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edfc51341606eb87eaa594acc3a57d19_l3.png)
Proposition
La valeur d’une somme arithmétique s’obtient en effectuant l’opération suivante :
![exercice 2 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv1-2-small.png)
L’application
Par ailleurs, on sait que pour tout
Par conséquent :
![Rendered by QuickLaTeX.com k=2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-383014add68bcfe0dfdfd25206eef726_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303feb9a9f7e31434b11733996f232d3_l3.png)
![exercice 3 facile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-3-small.png)
Le résultat établi dans cet exercice constitue une célèbre condition suffisante de convergence pour une série numérique, connue sous le nom de règle d’Abel.
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/02/Abel.jpg)
Rappelons les notations. Etant donnée une suite de nombres complexes, on pose :
On observe que, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f7b4182cdcb25662bd6fa9413f61256_l3.png)
Noter que le terme n’a pas été oublié dans cette dernière étape : il est nul.
L’égalité :
Remarque
Il s’agit, en quelque sorte, dune formule d’intégration par parties discrète.
Supposons la suite bornée et soit
un majorant de celle-ci :
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(t_{k}-t_{k+1}\right)S_{k}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74ad6f386c0673074e145905d11abb22_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k\geqslant1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1259867e8d2356ffa1e48c2cd6730111_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sum_{k\geqslant1}\left(t_{k}-t_{k+1}\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8e348ffa2e01f59aeb5357098c45046_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t_{1}).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-04e536f4f9bb2b721b38ab763a4b2265_l3.png)
Il en résulte que la série de terme général converge et admet pour somme :
On démontré la :
Règle d’Abel
Si est une suite réelle décroissante de limite nulle et si
est une suite complexe dont la suite des sommes partielles est bornée, alors la série :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-4-small.png)
Posons, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com e^{i\theta},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5b69855b074cf7e079b324db37a11b1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e^{ik\theta}=\left(e^{i\theta}\right)^{k}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b8f17acfcca2f4b4b94d6ade34352cf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42907eb1105c88299912e9f673e9a6b3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \theta\in\mathbb{R}-2\pi\mathbb{Z},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-503c6bfcf1c5b9297c9c132ae9302076_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com e^{i\theta}\neq1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cd62ed3e99cff35aaba357c53706d0a_l3.png)
()
Comme suggéré par l’énoncé, on peut aussi calculer directement :
![Rendered by QuickLaTeX.com \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\neq0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-835b8c2df68ce6d2ee6805769d8e7b7b_l3.png)
()
En apparence, les résultats obtenus par les deux méthodes différent … mais en apparence seulement, car on sait bien que pour tout :
Les formules et
nous racontent donc la même histoire …
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-5-small.png)
Considérons un ensemble de cardinal
et deux parties
de
disjointes et de même cardinal
Se donner une partie de de cardinal
revient à se donner, pour un certain
:
- une partie
de
de cardinal
- une partie
de
de cardinal
La partie peut être choisie de
façons. Et pour chaque tel choix, la partie
peut être choisie de
façons, ce qui donne un total de :
![Rendered by QuickLaTeX.com E](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e88829e2376637eebc8f18d9580d8f48_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ea3f01d69bae5f823c8d58bc6e969c6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \binom{2n}{n-1},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-695b521f8ea67836d3f0ff9f867b1f09_l3.png)
Tout ceci prouve que :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv2-6-small.png)
Posons :
![Rendered by QuickLaTeX.com z\in\mathbb{U}_{n}-\left\{ 1\right\}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-16e4698f6e29d3e59f75f376f9acd4c3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com M\in GL_{n}\left(\mathbb{C}\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71d29fde7afaddc66c0482e5b1c66f6c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{n}\,\overline{M}}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c2458de0e1b504f3f0ccc4665f82de3_l3.png)
Posons :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-7-small.png)
On observe que :
![Rendered by QuickLaTeX.com n+k=\left(n-k\right)+2k](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9f25d4311750874c0e287563a95b72a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 0;](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9d3ac3e685b2e4d52b5b379d6e26d56_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^{2}}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4665839d3824aa8c68b0d78b96a7320d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8fec699c9051dac2900c69b9d0d1e4d0_l3.png)
Autre point de vue … Si vous savez ce qu’est le produit de Cauchy de deux séries numériques, vous constaterez que la série est le carré de Cauchy de la série
, avec :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-8-small.png)
La formule d’Euler pour le sinus donne, pour tout :
A présent, une bonne idée consiste à faire intervenir le polynôme :
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{C}\left[X\right])](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9adf7f7a91e95f769eb7e0c3d718eafd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle Q_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\,X^{k}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-778a1180d0e291c2adec013f590de5ac_l3.png)
Passons au calcul de l’intégrale impropre :
Proposition
Si est continue et si l’intégrale impropre
converge, alors :
L’application est continue. Au voisinage de 0 :
![Rendered by QuickLaTeX.com t\mapsto\ln\left(t\right)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-357cde38a9b9287b60ebcfcc5f0ae8cd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,1\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f504d58286d960249cc931d4418fde3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,\frac{\pi}{2}\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7551e859aa107fd9f7a350e68560b624_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[\frac{\pi}{2},\pi\right[.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-098a2b81ec56234fbf82a004a29ef9e2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \pi/2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-928ba0bc0415dd2066e56751ffd225ef_l3.png)
Remarque
La résolution de cette question fait aussi l’objet d’une vidéo.
![exercice 9 difficile](https://math-os.com/wp-content/uploads/2017/08/TitreExo-Niv3-9-small.png)
Procédons par récurrence. Pour la formule est vraie.
Supposons-la vraie au rang pour un certain
Dérivons, par rapport à chaque membre de l’égalité à prouver.
D’une part :
L’égalité découle de la symétrie des coefficients binomiaux et de la formule du pion :
Il suffit donc de prouver que les deux expressions qu’on a dérivées coïncident pour une certaine valeur de On prend
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(y-k\right)^{n-1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-02b1cc8a3947fb72c8a7193009f9e387_l3.png)
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.