Solutions détaillées de neuf exercices sur les calculs de sommes (fiche 03).
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Considérons une suite arithmétique de raison
.
Pour tels que
notons :

Proposition
La valeur d’une somme arithmétique s’obtient en effectuant l’opération suivante :

L’application
Par ailleurs, on sait que pour tout
Par conséquent :




Le résultat établi dans cet exercice constitue une célèbre condition suffisante de convergence pour une série numérique, connue sous le nom de règle d’Abel.

Rappelons les notations. Etant donnée une suite de nombres complexes, on pose :
On observe que, pour tout :

Noter que le terme n’a pas été oublié dans cette dernière étape : il est nul.
L’égalité :
Remarque
Il s’agit, en quelque sorte, dune formule d’intégration par parties discrète.
Supposons la suite bornée et soit
un majorant de celle-ci :




Il en résulte que la série de terme général converge et admet pour somme :
On démontré la :
Règle d’Abel
Si est une suite réelle décroissante de limite nulle et si
est une suite complexe dont la suite des sommes partielles est bornée, alors la série :

Posons, pour tout :





()
Comme suggéré par l’énoncé, on peut aussi calculer directement :

()
En apparence, les résultats obtenus par les deux méthodes différent … mais en apparence seulement, car on sait bien que pour tout :
Les formules et
nous racontent donc la même histoire …

Considérons un ensemble de cardinal
et deux parties
de
disjointes et de même cardinal
Se donner une partie de de cardinal
revient à se donner, pour un certain
:
- une partie
de
de cardinal
- une partie
de
de cardinal
La partie peut être choisie de
façons. Et pour chaque tel choix, la partie
peut être choisie de
façons, ce qui donne un total de :



Tout ceci prouve que :

Posons :



Posons :

On observe que :





La formule d’Euler pour le sinus donne, pour tout :
A présent, une bonne idée consiste à faire intervenir le polynôme :
![Rendered by QuickLaTeX.com \mathbb{C}\left[X\right])](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ebab802fc98266f69ed0af8432cd47e_l3.png)

Passons au calcul de l’intégrale impropre :
Proposition
Si est continue et si l’intégrale impropre
converge, alors :
L’application est continue. Au voisinage de 0 :

![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,1\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b09afd909a97061eb3ae6296a60c939_l3.png)

![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,\frac{\pi}{2}\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea2fbd0ce13b3ab375e5337e24152646_l3.png)


Remarque
La résolution de cette question fait aussi l’objet d’une vidéo.

Procédons par récurrence. Pour la formule est vraie.
Supposons-la vraie au rang pour un certain
Dérivons, par rapport à chaque membre de l’égalité à prouver.
D’une part :
L’égalité découle de la symétrie des coefficients binomiaux et de la formule du pion :
Il suffit donc de prouver que les deux expressions qu’on a dérivées coïncident pour une certaine valeur de On prend
:

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