Solutions détaillées de neuf exercices sur les calculs de sommes (fiche 03).
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Considérons une suite arithmétique de raison .
Pour tels que notons :
Alors :
Or, pour tout :
et donc :
d’où la conclusion. Il est conseillé de mémoriser ce résultat, sous la forme :
Proposition
La valeur d’une somme arithmétique s’obtient en effectuant l’opération suivante :
L’application
est croissante, puisque sa dérivée est donnée par :
Par ailleurs, on sait que pour tout Par conséquent :
c’est-à-dire :
Il reste à multiplier membre à membre ces inégalités (entre réels positifs) pour à :
et à observer que ce dernier produit se télescope. Au final, pour tout entier :
Il en résulte que :
Le résultat établi dans cet exercice constitue une célèbre condition suffisante de convergence pour une série numérique, connue sous le nom de règle d’Abel.
Rappelons les notations. Etant donnée une suite de nombres complexes, on pose :
On observe que, pour tout :
Par conséquent, pour tout :
Noter que le terme n’a pas été oublié dans cette dernière étape : il est nul.
L’égalité :
constitue ce qu’on appelle la transformation d’Abel.
Remarque
Il s’agit, en quelque sorte, dune formule d’intégration par parties discrète.
Supposons la suite bornée et soit un majorant de celle-ci :
La série de terme général est absolument convergente (donc convergente) car, d’une part, pour tout :
et d’autre part, la série converge (et admet pour somme
Il en résulte que la série de terme général converge et admet pour somme :
On démontré la :
Règle d’Abel
Si est une suite réelle décroissante de limite nulle et si est une suite complexe dont la suite des sommes partielles est bornée, alors la série :
est convergente.
Posons, pour tout :
Il s’agit d’une somme géométrique de raison car pour tout entier d’après la formule de Moivre. Comme par hypothèse alors et donc :
que l’on peut encore écrire :
c’est-à-dire, d’après la formule d’Euler pour le sinus :
En récupérant les parties imaginaires de chaque membre, on obtient :
()
Comme suggéré par l’énoncé, on peut aussi calculer directement :
or, on peut linéariser chaque terme :
ce qui donne une sommation télescopique :
et donc, vu que :
()
En apparence, les résultats obtenus par les deux méthodes différent … mais en apparence seulement, car on sait bien que pour tout :
Les formules et nous racontent donc la même histoire …
Considérons un ensemble de cardinal et deux parties de disjointes et de même cardinal
Se donner une partie de de cardinal revient à se donner, pour un certain :
- une partie de de cardinal
- une partie de de cardinal
La partie peut être choisie de façons. Et pour chaque tel choix, la partie peut être choisie de façons, ce qui donne un total de :
Bien entendu, le nombre parties de de cardinal est par définition !
Tout ceci prouve que :
Posons :
Vu que le conjugué d’un nombre complexe de module 1 coïncide avec son inverse :
On reconnaît une somme géométrique de raison :
et l’on sait que, pour tout :
Or :
On voit ainsi que :
Autrement dit :
ce qui montre au passage que et que
Posons :
Alors :
et donc :
Ainsi :
On observe que :
et donc, en remarquant que :
Ainsi :
Or :
Cette dernière expression tend vers elle est donc négligeable devant qui tend (résultat classique) vers Par conséquent :
et la convergence de la série proposée en résulte.
Autre point de vue … Si vous savez ce qu’est le produit de Cauchy de deux séries numériques, vous constaterez que la série est le carré de Cauchy de la série , avec :
Or, on sait (voir cet article) que le produit de Cauchy de deux séries convergentes à termes positives (et, plus généralement, de deux séries absolument convergentes) converge et que sa somme est le produit des sommes. Ainsi, la série proposée converge et :
La formule d’Euler pour le sinus donne, pour tout :
donc :
Or :
Ainsi :
A présent, une bonne idée consiste à faire intervenir le polynôme :
On sait d’une part que :
et, d’autre part, que :
Il en résulte (par intégrité de l’anneau que et donc que :
d’où finalement :
Passons au calcul de l’intégrale impropre :
Nous allons admettre et utiliser le résultat suivant :
Proposition
Si est continue et si l’intégrale impropre converge, alors :
L’application est continue. Au voisinage de 0 :
or on sait que est intégrable et de signe fixe sur Il s’ensuit que est intégrable sur et un argument de symétrie montre son intégrabilité sur En outre, toujours en raison de la symétrie par rapport à :
Soit finalement :
Remarque
La résolution de cette question fait aussi l’objet d’une vidéo.
Procédons par récurrence. Pour la formule est vraie.
Supposons-la vraie au rang pour un certain
Dérivons, par rapport à chaque membre de l’égalité à prouver.
D’une part :
et d’autre part :
L’égalité découle de la symétrie des coefficients binomiaux et de la formule du pion :
Bref, d’après l’hypothèse de récurrence, les dérivées sont égales.
Il suffit donc de prouver que les deux expressions qu’on a dérivées coïncident pour une certaine valeur de On prend :
Or, en développant puis en intervertissant les sommes :
Or, il se trouve que :
ce qui permet de conclure.
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